Просмотр кода страницы Задача о размещении объектов

== Ключевые слова и синонимы ==
Размещение заводов; размещение складов

== Постановка задачи ==
Задачи о размещении объектов рассматривают ситуации, в которых необходимо спланировать местоположение объектов, предназначенных для обслуживания заданного множества клиентов. Цель обычно заключается в минимизации суммы затрат на открытие объектов и затрат на обслуживание их клиентами с учетом различных ограничений – таких как количество и тип клиентов, которых может обслуживать объект. Существует множество вариантов этой задачи, зависящих от структуры стоимостной функции и ограничений, налагаемых на решение. Первые исследования задачи о размещении объектов выполнили Кюн и Гамбергер [35], Балински и Волф [8], Манн [40] и Балински [7]. Обзорные работы представили Краруп и Прузан [34], а также Мирчандани и Фрэнсис [42]. Любопытно отметить, что одним из самых эффективных алгоритмов решения задачи о размещении объектов без ограничений на пропускную способность является прямо-двойственный алгоритм в сочетании с алгоритмом ветвления и границ, предложенный Эрленкоттером [16] еще в 1978 году. Его прямо-двойственная схема близка к техникам, используемым в современной литературе, посвященной алгоритмам аппроксимации.


В последние годы были проведены масштабные исследования алгоритмов аппроксимации для задач о размещении объектов. Обзорные материалы по этим исследованиям выпустили Шмойс [49, 50] и Вайген [55]. Помимо их теоретической и практической важности, задачи о размещении объектов представляют собой яркую демонстрацию применения широко распространенных техник в области алгоритмов аппроксимации, поскольку многие из этих техник (например, округление LP-алгоритма, прямо-двойственные методы и локальный поиск) успешно применяются к этому семейству задач. Далее будут рассмотрены насколько задач о размещении объектов, выполнен экскурс в историю и перечислены алгоритмы аппроксимации с опорой на результаты, полученные в работе Шмойса, Тардош и Аардал [51]. Техники, применяемые к ''задаче о размещении объектов без ограничений на пропускную способность'' (uncapacitated facility location, UFL), будут рассмотрены более подробно.


В задаче UFL заданы множество <math>\mathcal{F}</math> из <math>n_f \;</math> ''объектов'' и множество <math>\mathcal{C} \;</math> из <math>n_c \;</math> ''клиентов'' (которые также могут называться ''городами'' или ''точками спроса''). Каждому объекту <math>i \in \mathcal{F}</math> назначена ''стоимость открытия объекта'' <math>f_i \;</math>. Кроме того, для каждого объекта <math>i \in \mathcal{F}</math> и клиента <math>j \in \mathcal{C}</math> задана ''стоимость соединения'' <math>c_{ij} \;</math>. Задача заключается в открытии подмножества объектов и соединении каждого клиента с открытым объектом таким образом, чтобы общая стоимость была минимальной. Заметим, что после определения множества открытых объектов оптимальным является соединение каждого клиента с открытым объектом, имеющее минимальную стоимость. Таким образом, задача заключается в нахождении множества <math>S \subseteq \mathcal{F}</math>, минимизирующего значение <math>\sum_{i \in S} f_i + \sum_{j \in C} min_{i \in S} \{ c_{ij} \}</math>. Это определение и определения других вариантов задачи о размещении объектов далее будут предполагать единичный спрос у каждого клиента. Обобщение определений до случая с заданным спросом у каждого отдельного клиента является тривиальным. Задачу UFL можно сформулировать в виде следующей целочисленной программы, предложенной Балински [7]. Пусть <math>y_i, i \in \mathcal{F},</math> равно 1 в случае, если объект открыт, и 0 в противном случае. <math>Пусть x_{ij}, i \in \mathcal{F}, j \in \mathcal{C}</math>, – доля клиента j, назначенная объекту i.


(1) <math>min \sum_{i \in \mathcal{F}} f_i y_i + \sum_{i \in \mathcal{F}} \sum_{j \in \mathcal{C}} c_{ij} x_{ij}</math>

(2) при условии <math>\sum_{i \in \mathcal{F}} x_{ij} = 1</math> для всех <math>j \in \mathcal{C}</math>,

(3) <math>x_{ij} - y_i \le 0</math> для всех <math>i \in \mathcal{F}, j \in \mathcal{C}</math> (3)

(4) <math>x \ge 0, y \in \{ 0, 1 \}^{n_f}</math>


В случае ''LP-релаксации'' задачи UFL ограничение <math>y \in \{ 0, 1 \}^{n_f}</math> заменяется ограничением <math>y \in [0, 1]^{n_f}</math> . Заметим, что при отсутствии ограничений на пропускную способность нет необходимости в требовании <math>x_{ij} \in \{0, 1 \}, i \in \mathcal{F}, j \in \mathcal{C}</math>, если каждый клиент должен быть обслужен точно одним объектом, поскольку <math>0 \le x_{ij} \le 1 \;</math> согласно ограничениям (2) и (4). Более того, если <math>x_{ij} \;</math> не является целым, то всегда возможно получить целочисленное решение с той же стоимостью, назначив клиента j полностью одному из объектов, обслуживающих j в настоящее время.


Алгоритм <math>\gamma \;</math>-аппроксимации представляет собой полиномиальный алгоритм, который в задаче минимизации гарантированно дает допустимое решение со значением ''не более'' <math>\gamma \; z^*</math>, где <math>z^* \;</math> - значение оптимального решения, а <math>\gamma \ge 1 \;</math>. Если <math>\gamma = 1 \;</math>, алгоритм дает оптимальное решение. В задаче минимизации алгоритм дает решение со значением ''не менее'' <math>\gamma \; z^*</math>, где <math>0 \le \gamma \le 1 \;</math>.


Хохбаум [25] разработала алгоритм O(log n)-аппроксимации для задачи UFL. Путем прямой редукции задачи о покрытии множества можно показать, что результат не может быть улучшен иначе как в случае <math>NP \subseteq DTIME[n^{O(log \; log \; n)}]</math> в силу результата, полученного Фейге [17]. Однако, если стоимость соединения ограничена в силу некоторых свойств расстояния в метрическом пространстве, а именно <math>c_{ij} = c_{ji} \ge 0 \;</math> для всех <math>i \in \mathcal{F}, j \in \mathcal{C}</math> (неотрицательность и симметричность) и <math>c_{ij} + c_{ji'} + c_{i'j'} \ge c_{i j'} \;</math> для всех <math>i, i' \in \mathcal{F}, j, j' \in \mathcal{C}</math> (неравенство треугольника), то можно получить гарантии константной аппроксимации. Во всех упомянутых выше результатах, за исключением задачи максимизации, предполагается, что стоимости удовлетворяют этим ограничениям. Для случая евклидовых расстояний между объектами и клиентами были получены схемы аппроксимации для некоторых задач о размещении объектов [5].


'''Варианты и родственные задачи'''

Вариант задачи о размещении объектов без ограничений на пропускную способность был получен в результате рассмотрения коэффициентов целевой функции <math>c_{ij} \;</math> как прибыли в пересчете на элемент, полученной в результате обслуживания клиента j из объекта i. Вариант с ''максимизацией'' UFL, названный max-UFL, ориентирован на максимизацию прибыли за вычетом стоимости открытия объекта, т. е. <math>max \sum_{i \in \mathcal{F}} \sum_{j \in C} c_{ij} x_{ij} - \sum_{i \in \mathcal{F}} f_i y_i</math>. Этот вариант предложили Корнюжо, Фишер и Немхаузер [15].


В ''задаче о k-медианах'' стоимость открытия объекта не включается в целевую функцию (1), в результате чего она имеет вид <math>min \sum_{i \in M} \sum_{j \in N} c_{ij} x_{ij}</math>, плюс добавляется ограничение k на количество объектов, которые могут быть открыты, <math>\sum_{i \in M} y_i \le k</math>. В ''задаче о k-центрах'' ограничение <math>\sum_{i \in M} y_i \le k</math> учитывается, а целью является минимизация максимального расстояния по соединению между открытым объектом и клиентом.


В ''задаче с ограничениями на пропускную способность'' для всех <math>i \in \mathcal{F}</math> добавляется ограничение на пропускную способность <math>\sum_{j \in C} x_{ij} \le u_i y_i</math>. Важно различать случаи ''с возможностью разделения'' и с его ''невозможностью'', а также случаи с ''мягким'' и ''жестким ограничением на пропускную способность''. В случае с возможностью разделения имеем <math>x \ge 0 \;</math>, что позволяет обслуживать клиента при помощи нескольких депо; в случае с невозможностью разделения необходимо выполнение <math>x \in \{ 0, 1 \}^{n_f \times b_c}</math>. Если каждый объект может быть открыт не более одного раза (т. е. <math>y_i \in \{ 0, 1 \} \;</math>), ограничения называются жесткими; если в задаче допускается открытие объекта i любое количество r раз для обслуживания <math>ru_i \;</math> клиентов, ограничения называются мягкими.


В k-уровневой задаче о размещении объектов заданы следующие начальные данные: множество клиентов C, k непересекающихся множеств <math>\mathcal{F}_1, ..., \mathcal{F}_k</math> объектов, стоимость открытия каждого объекта и стоимость соединения клиентов и объектов. Задача заключается в соединении каждого клиента j по пути, состоящему из открытых объектов <math>i_1, ... , i_k \;</math>, где <math>i_{\ell} = \mathcal{F}_{\ell}</math>. Стоимость соединения для этого объекта имеет вид <math>c_{ji_1} + c_{i_1 i_2} + ... + c_{i_{k - 1}i_k} \;</math>. Задача заключается в минимизации суммы стоимостей соединений и стоимостей открытия объектов.


Все вышеупомянутые задачи были рассмотрены в работе Шмойса, Тардош и Аардал [15] за исключением задач max-UFL, о k-центрах и k-медианах. Вариант max-UFL был добавлен по историческим причинам, а задачи о k-центрах и k-медианах включены в силу их богатой истории и близкого родства с задачей UFL. Результаты для задачи о размещении объектов с жесткими ограничениями на пропускную способность упомянуты, поскольку, по крайней мере с точки зрения приложения, эта модель более реалистична по сравнению с версией с мягкими ограничениями, рассмотренной в [51]. Для k-уровневой задачи о размещении объектов Шмойс и др. рассматривали случай k = 2. Здесь рассматривается задача для k общего вида.


Также существуют различные варианты задачи о размещении объектов, не упоминавшиеся выше. Можно привести такие примеры задач, как размещение объектов с ограничением числом K [33], универсальное размещение объектов [24, 38], размещение объектов в онлайновом режиме [3, 18, 41], отказоустойчивое размещение объектов [28, 30, 54], размещение объектов при наличии выбросов [12, 28], размещение объектов для нескольких товарных потоков [48], размещение объектов с приоритетами [37, 48], размещение объектов с иерархической стоимостью объектов [52], стохастическое размещение объектов [23, 37, 46], размещение объектов с подключением [53], размещение объектов с балансировкой нагрузки [22, 32, 37], размещение объектов с вогнутой функций затрат [24], размещение объектов с ограничением на количество кабелей [37, 47].

== Основные результаты ==
Для решения задач о размещении объектов было предложено множество алгоритмов. Вначале будет приведено краткое описание алгоритмов Шмойса, Тардош и Аардал [51]. Затем будет представлен сжатый обзор основных результатов. Некоторые алгоритмы, дающие наилучшие значения гарантии аппроксимации у, основаны на решении задачи LP-релаксации при помощи полиномиального алгоритма, что может потребовать значительного времени; в то же время некоторые авторы предложили быстрые комбинаторные алгоритмы для задач о размещении объектов с менее привлекательными значениями гарантии y. В свете ограничений на объем занимаемой памяти более эффективно уделять внимание алгоритмам, обеспечивающим наилучшие значения гарантии аппроксимации. Дополнительные ссылки можно найти в обзорных статьях Шмойса [49,50] и Вайгена [55].


'''Алгоритмы Шмойса, Тардош и Аардал'''

Вначале будет представлен алгоритм решения задачи UFL, а затем перечислены результаты, которые могут быть получены за счет адаптации алгоритма к другим задачам.


Алгоритм выполняет LP-релаксацию, а затем в два этапа модифицирует полученное дробное решение. Первый этап, называемый ''фильтрацией'', предназначен для ограничения стоимости соединения каждого клиента с самым удаленным объектом, частично обслуживающим его. Для этого переменные <math>y_i \;</math>, обозначающие стоимость открытия объектов, пропорционально увеличиваются на константную величину, а затем переменные <math>x_{ij} \;</math>, обозначающие стоимость соединения, корректируются для использования ближайших возможных объектов.


Для второго этапа используется понятие ''кластеризации'', позднее формализованное Чудаком и Шмойсом [13]. Основываясь на дробном решении, экземпляр разбивается на фрагменты, называемые ''кластерами''. У каждого кластера имеется отдельный клиент, называемый ''центром кластера''. Это производится путем итеративного выбора клиента, не охваченного предыдущими кластерами, в качестве центра кластера, и добавления к этому кластеру объектов, обслуживающих этого клиента в дробном решении, а также других клиентов, обслуживаемых этими объектами. Такое построение кластеров гарантирует, что объекты в каждом кластере открыты для количества клиентов, в сумме равного единице и, следовательно, после открытия объекта с наименьшей возможной стоимостью в каждом кластере суммарная уплаченная стоимость открытия объекта не превышает стоимость открытия объекта у дробного решения. Более того, выбирая клиентов в качестве центров кластеров жадным образом, алгоритм добивается того, чтобы каждый центр кластера минимизировал определенную стоимостную функцию для клиентов кластера. Оставшиеся клиента кластера также соединяются с открытым объектом. Для ограничения стоимости этого соединения используется неравенство треугольника для стоимостей соединений. Для задачи UFL этот алгоритм фильтрации и округления представляет собой алгоритм 4-аппроксимации, Шмойс и др. Также показали, что в случае замены этапа фильтрации ''рандомизированной фильтрацией'' можно получить гарантию аппроксимации 3,16.


В той же статье была выполнена адаптация алгоритма, с применением рандомизированной фильтрации и без нее, с целью получения алгоритмов аппроксимации для задачи о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность, а также для двухуровневой задачи о размещении объектов без ограничений на пропускную способность. Далее будут обсуждаться результаты работы алгоритма с применением рандомизированной фильтрации.


Были рассмотрены два варианта задачи о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность. Оба предполагают равную пропускную способность, т. е. <math>u_i = u \;</math> для всех <math>i \in \mathcal{F}</math>. В первом варианте решение является «допустимым», если y-переменные либо принимают значение 0, либо имеют значение между 1 и <math>\gamma' \ge 1 \;</math>. Заметим, что <math>\gamma' \;</math> не обязательно должно быть целым, так что построенное решение не обязательно является целочисленным. Это можно интерпретировать так, что каждому объекту i дозволяется расширяться, обеспечивая пропускную способность <math>\gamma' u</math> со стоимостью \gamma''f_i \;. Алгоритм (y, y')-аппроксимации представляет собой полиномиальный алгоритм, приводящий к такому допустимому решению, общая стоимость которого не более чем в у раз превышает истинную оптимальную стоимость, а именно, с 2 f0; 1gnf. Шмойс и др. разработали алгоритм (5,69; 4,24)-аппроксимации для варианта этой задачи с возможностью разделения и алгоритм (7,62; 4,29)-аппроксимации для варианта без возможности разделения.


Во второй модели о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность задача меняется таким образом, чтобы y-переменные могли принимать неотрицательные целочисленные значения, благодаря чему можно открывать несколько объектов с пропускной способностью u в каждом местоположении. Алгоритмы аппроксимации в данном случае дают решение, являющееся допустимым в рамках данной модифицированной модели. Легко показать, что гарантии аппроксимации, полученные для предыдущей модели, выполняются и в данном случае – речь идет о полученных Шмойсом алгоритмах 5,69-аппроксимации для варианта с возможностью разделения спроса и 7,62-аппроксимации для варианта без возможности разделения спроса. Последняя модель чаще всего рассматривается в более современных работах, поэтому именно на нее будут ссылаться авторы в параграфе, посвященном размещению объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность.


UFL