Аппроксимационные схемы для задачи об упаковке в контейнеры: различия между версиями

Подход де ла Веги и Люкера [3] заключался в том, чтобы предложить технику аппроксимации исходного экземпляра более простым экземпляром, в котором крупные предметы могут иметь только O(1) различных размеров. Их идея была проста. Во-первых, достаточно ограничить внимание крупными предметами, скажем, размером больше <math>\varepsilon</math>. Обозначим этот набор <math>I_b</math>. Пусть имеется (почти) оптимальная упаковка для <math>I_b</math>; рассмотрим решение, полученное путем жадного заполнения контейнеров оставшимися мелкими предметами, открывая новые контейнеры только в случае необходимости. Действительно, если новые контейнеры не потребуются, то решение по-прежнему остается почти оптимальным, поскольку упаковка для <math>I_b</math> была почти оптимальной. Если же дополнительные контейнеры необходимы, то каждый контейнер (возможно, за исключением одного) должен быть заполнен до объема <math>(1 - \epsilon)</math>, что дает упаковку с использованием <math>Size(I)/(1 - \epsilon) + 1 \le OPT(I)/(1 - \epsilon) + 1</math> контейнеров. Таким образом, достаточно сосредоточиться на решении задачи <math>I_b</math> почти оптимальным способом. Для этого авторы показывают, как получить другой экземпляр задачи <math>I'</math> со следующими свойствами. Во-первых, в <math>I'</math> имеется только <math>O(1 / \epsilon^2)</math> различных размеров, во-вторых, <math>I'</math> является приближением <math>I_b</math> в том смысле, что <math>OPT(I_b) \ge OPT(I')</math> – и, более того, любое решение <math>I'</math> подразумевает решение <math>I_b</math> с использованием <math>O(\epsilon \cdot OPT(I))</math> дополнительных контейнеров. Поскольку в задаче <math>I'</math> имеется только <math>1 / \epsilon^2</math> различных размеров элементов, а в любой контейнер можно поместить не более <math>1 / \epsilon</math> таких элементов, существует не более <math>O(1 / \epsilon^2)^{1 / \epsilon}</math> способов упаковки в контейнеры. Таким образом, задача <math>I'</math> может быть решена оптимально путем исчерпывающего перечисления (или еще более эффективно с помощью описанной ниже формулировки целочисленного программирования).

Отправной точкой является экспоненциально большая релаксация линейного программирования (LP) данной задачи, обычно называемая конфигурационной линейной программой. Здесь имеется переменная <math>x_S</math>, соответствующая каждому подмножеству предметов S, которые можно подходящим образом упаковать в контейнер. Задача состоит в минимизации <math>\sum_S x_S</math> при условии, что для каждого предмета i сумма <math>x_S</math> по всем подмножествам S, содержащим i, не меньше 1. Очевидно, что это релаксация, поскольку задание соотношения <math>x_S = 1</math> для каждого набора S, соответствующего контейнеру в оптимальном решении, является допустимым целочисленным решением задачи LP. Несмотря на то, что в этой формулировке решение имеет экспоненциальную величину, задача разделения для двойственной формулировки является задачей о рюкзаке, и поэтому LP может быть решена за полиномиальное время с любой точностью (в частности, с точностью до 1) методом эллипсоидов. Такое решение называется дробно-линейной упаковкой. Заметим, что если имеется <math>n_i</math> предметов, каждый из которых имеет размер ровно <math>s_i</math>, то ограничения, соответствующие i, можно «объединить», чтобы получить следующий вариант LP:

<math>min \sum_S x_S</math>, такой, что <math>\sum_S a_{S, i} x_S \ge n_i</math> для всех размеров предметов i, <math>x_S \ge 0</math> для всех допустимых множеств S.