Задача о больницах и резидентах: различия между версиями

Экземпляр I задачи о больницах и резидентах (HR) [5, 6, 14] включает множество <math>R = \{ r_1, ..., r_n \}</math> ''резидентов'' и множество <math>H = \{ h_1, ..., h_m \} </math> ''больниц''. Каждая больница <math>h_j \in H<nowiki></math></nowiki> имеет ''кадровый потенциал'' в виде целого положительного числа, обозначаемый <math>c_j</math>. Также каждый резидент <math>r_i \in R</math> имеет ''список предпочтений'', в котором он ранжирует подмножество H в строгом порядке. Пара <math>(r_i, h_j) \in R \times H</math> называется ''приемлемой'', если <math>h_j</math> содержится в списке предпочтений <math>r_i</math>; в этом случае говорят, что <math>r_i</math> считает <math>h_j</math> приемлемой. Аналогично, каждая больница <math>h_j \in H</math> имеет список предпочтений, в котором она располагает в строгом порядке тех резидентов, которые считают эту больницу приемлемой. Пусть имеются три любых агента <math>x, y, z \in R \cup H</math>; можно сказать, что x ''предпочитает'' агента y агенту z, если x находит приемлемым их обоих и y предшествует z в списке предпочтений x. Пусть <math>C = \sum_{h_j \in H} c_j</math>.

Обозначим за A множество допустимых пар в I, L = jAj. Назначение M является подмножеством A. Если <math>(r_i, h_j) \in M</math>, то говорят, что резидент <math>r_i</math> назначен больнице <math>h_j</math>, а больница <math>h_j</math> – резиденту <math>r_i</math>. Для каждого q 2 R [ H множество назначенных q в M обозначается M(q). Если ri 2 R и M(ri) = ;, то считается, что <math>r_i</math> не назначен, в противном случае <math>r_i</math> назначен. Аналогично, любая больница hj 2 H является недоукомплектованной, полной или переукомплектованной, если jM(hj)j меньше, равна или больше cj, соответственно.

Паросочетанием M называется назначение, такое, что <math>|M(r_i) < 1</math> для каждого <math>r_i \in R</math> и jM(hj)j < cj для каждого hj 2 H (т. е. ни один резидент не назначен в неподходящую больницу, каждый резидент назначен не более чем в одну больницу и ни одна больница не переукомплектована). Для удобства обозначений, если даны паросочетание M и резидент ri 2 R такой, что M(ri) ф ;, то в случаях, когда это не вызывает двусмысленности, обозначение <math>M(r_i)</math> также используется для обозначения единственного члена <math>M(r_i)</math>.

Паросочетание M называется устойчивым, если оно не допускает ни одной блокирующей пары. Пусть дан экземпляр I из HR; задача заключается в том, чтобы найти устойчивое паросочетание в I.

Впервые задача HR была определена Гэйлом и Шепли [ ] под названием «задача о поступлении в колледж». В своей основополагающей статье авторы рассматривают классическую задачу о стабильных браках (SM; см. Стабильный брак и Оптимальный стабильный брак), которая является частным случаем HR, в котором n = m, A = R x H, и cj = 1 для всех hj 2 H; в этом частном случае резиденты и больницы называются мужчинами и женщинами, соответственно. Гэйл и Шепли показали, что каждый экземпляр I задачи HR допускает по крайней мере одно устойчивое паросочетание. Доказательство этого результата носит конструктивный характер, то есть описывается алгоритм нахождения устойчивого паросочетания в I. Этот алгоритм получил название алгоритма Гэйла-Шепли.

Хотя для заданного экземпляра I задачи HR может существовать несколько устойчивых паросочетаний, для всех устойчивых паросочетаний в I сохраняются некоторые ключевые структурные свойства, касающиеся неназначенных резидентов и недоукомплектованных больниц.

Эти результаты известны под общим названием «Теорема о сельских больницах» (подробнее см. в [6, раздел 1.6.4]. Кроме того, множество устойчивых паросочетаний в I образует дистрибутивную решетку при естественном отношении доминирования [6, раздел 1.6.5].

Другие варианты задачи HR возникают в случаях, если списки предпочтений включают связи. Это расширение также очень важно с практической точки зрения, поскольку может быть нереалистично ожидать, что популярная больница расположит большое количество претендентов в строгом порядке, особенно если она не учитывает группы претендентов. Расширение задачи HR, в котором списки предпочтений могут включать связи, обозначается HRT. В этом контексте возникают три естественных определения устойчивости, так называемые слабая устойчивость, сильная устойчивость и сверхустойчивость (формальные определения этих понятий см. в [8]). Известно, что слабоустойчивые паросочетания в экземпляре I задачи HRT могут иметь различные размеры, и проблема нахождения слабоустойчивого паросочетания максимальной мощности является NP-полной (подробнее об этом см. Устойчивое бракосочетание со связями и неполными списками). С другой стороны, в отличие от случая слабой устойчивости, сверхустойчивое паросочетание не обязательно должно существовать в I, хотя существует алгоритм O(L) для поиска такого паросочетания в случае, если таковое существует. Аналогичные результаты имеют место и в случае сильной устойчивости – в этом случае алгоритм O(L2) [8] был улучшен алгоритмом O(CL) [ ] и распространен на случай «от многих к многим» [ ]. Кроме того, аналоги теоремы о сельских больницах справедливы для HRT при каждом из критериев сверхустойчивости и сильной устойчивости [7, 15].