Алгоритмы поиска остова во взвешенном графе: различия между версиями

Вычисление t-остова наименьшего размера для заданного графа представляет собой важную комбинаторную задачу с множеством вариантов применения. Однако вычисление t-остова наименьшего размера для графа является NP-полной задачей. Фактически (для значений t > 2) NP-полной [10] является даже задача аппроксимации минимального размера t-остова для графа с коэффициентом O(2<math>^{(1-\mu ) ln \; n)}\, </math>) для любого <math>\mu</math> > 0. Осознав этот факт, исследователи предпочли двинуться в другом направлении, которое оказалось интересным и полезным. Пусть <math>S_{G}^{t}\, </math> – размер наиболее разреженного t-остова графа G, а <math>S_{n}^{t}\, </math> – максимальное значение <math>S_{G}^{t}\, </math> среди всех возможных графов с n вершинами. Существует ли алгоритм с полиномиальным временем исполнения, который для любого взвешенного графа и параметра t вычисляет его t-остов размера <math>O(S_{G}^{t})\, </math>? Такой алгоритм был бы лучшим из того, на что мы могли бы надеяться, учитывая сложность исходной задачи t-остова. Возникает естественный вопрос: насколько велико может быть значение <math>S_{G}^{t}\, </math>? Из высказанной Эрдосом [12] 43 года назад гипотезы о нижней границе обхвата следует, что существуют графы с n вершинами, для которых 2k-остов и (2k–1)-остов состоят из <math>\Omega (n^{1+\frac{1}{k}}) \, </math> ребер. Эта гипотеза была доказана для k = 1, 2, 3 и 5. Заметим, что (2k–1)-остов является также и 2k-остовом, а нижняя граница размера одинакова для 2k-остова и (2k–1)-остова. Таким образом, задача заключается в разработке алгоритма, который для любого взвешенного графа с n вершинами вычисляет (2k–1)-остов размера <math>O(n^{1+\frac{1}{k}}) \, </math>. Разумеется, хотелось бы найти самый быстрый алгоритм решения этой задачи, а наиболее амбициозная цель заключается в нахождении алгоритма линейной сложности.

В данной статье представлены два простейших алгоритма, вычисляющих (2k–1)-остов заданного взвешенного графа G = (V, E). Пусть n и m – число вершин и ребер графа G, соответственно. Первый алгоритм, разработанный Альтхофером и коллегами [2], основан на [[жадный алгоритм|жадной стратегии]] и исполняется за время <math>O(mn^{1+\frac{1}{k}})</math>. Второй алгоритм [6] основан на сверхлокальном подходе, он исполняется за время O(km). Для начала рассмотрим следующее простое наблюдение. Предположим, что имеется подмножество <math>E_{s} \in E</math>, такое, что для каждого ребра <math>(x, y) \in E \setminus E_{s}</math> выполняется следующее утверждение.

Простая реализация Алгоритма I размера <math>O(mn^{1+\frac{1}{k}})</math> разработана на базе алгоритма Дейкстры. Коэн [9], а впоследствии – Торуп и Цвик [18] разработали алгоритмы для (2k–1)-остова с улучшенным временем исполнения – <math>O(kmn^{\frac{1}{k}})</math>. Эти алгоритмы используют для вычисления расстояния несколько вызовов алгоритма Дейкстры нахождения кратчайших путей с единственным источником и в силу этого неспособны достичь линейного времени исполнения. С другой стороны, поскольку остов должен аппроксимировать расстояния между всеми парами вершин в графе, было бы сложно вычислить остов, избегая получения явной информации о расстояниях. Как ни удивительно, Алгоритм II успешно избегает каких-либо вычислений расстояния и достигает почти линейного времени исполнения.

Количество ребер, добавленных к остову E<math>_{S}</math> за время исполнения описанных этапов алгоритма, можно ограничить следующим образом. Заметим, что множество выборки R формируется путем случайного и независимого выбора каждой вершины с вероятностью <math>\frac{1}{\sqrt{n}}</math>. Из элементарной вероятности следует, что для каждой вершины <math>v \in V</math> ожидаемое количество инцидентных ей ребер с весами меньше, чем у (v, N (v, R)), не превосходит <math>\sqrt{n}</math>. Таким образом, ожидаемое количество ребер, вносимых в остов каждой вершиной на первом этапе алгоритма, не превосходит <math>\sqrt{n}</math>. Количество ребер, добавленных к остову на второй фазе, составляет O(n<math>\mid</math>R<math>\mid</math>). Поскольку ожидаемый размер выборки R равен <math>\sqrt{n}</math>, следовательно, ожидаемое количество ребер, добавленных к остову на второй фазе, составляет не более n<math>^{3/2}</math>. Следовательно, ожидаемый размер остова E<math>_{S}</math> по окончании работы Алгоритма II в вышеописанном виде не превосходит 2n<math>^{3/2}</math>. Алгоритм выполняется повторно, если размер остова превосходит 3n<math>^{3/2}</math>. Из неравенства Маркова следует, что ожидаемое количество таких повторений будет составлять O(1).

Пусть в начале второго этапа (u, v’) <math>\in</math> E’ будет ребром с наименьшим весом среди всех ребер, инцидентных u, от вершин кластера с центром в x. Таким образом, должно выполняться weight(u, v’) ≤ weight(u, v). Обработка вершины u на втором этапе алгоритма гарантирует, что ребро (u, v’) добавляется в E<math>_{S}</math>. Следовательно, существует путь Π<math>_{uv}</math> = u – v’ – x – v между u и v в остове E<math>_{S}</math>, и его вес ограничен weight(Π<math>_{uv}</math>) = weight(u, v’) + weight(v’, x) + weight(x, v). Поскольку (v’, x) и (v, x) были выбраны на первом этапе, должно выполняться weight(v’, x) ≤ weight(u, v’) и weight(x, v) ≤ weight(u, v). Отсюда следует, что остов (v, E<math>_{S}</math>) имеет коэффициент растяжения 3. Кроме того, обе фазы алгоритма могут быть исполнены за время O(m) с использованием элементарных структур данных и блочной сортировки.

Алгоритм вычисления (2k–1)-остова исполняет k итераций, причем каждая итерация напоминает первый этап алгоритма нахождения 3-остова. Детали и формальное доказательство можно найти в [6].

В дополнение к вышеупомянутым исследованиям по остовам общего вида было проведена большая работа по вычислению остовов для специальных классов графов – к примеру, хордальных графов, невзвешенных графов и евклидовых графов. Для хордальных графов Пелег и Шеффер [14] разработали алгоритм, вычисляющий 2-остов размера <math>O(n^{\frac{3}{2}})</math> и 3-остов размера O(n log n). Для невзвешенных графов Халперин и Цвик [13] создали алгоритм с временем исполнения O(m). Салоу [17] представил алгоритм для вычисления (1+ε)-остова d-мерного полного евклидова графа за время <math>O(n log n + \frac{n}{\epsilon^{d}})</math>. Однако ни один из алгоритмов для таких специальных случаев не подходит для работы с взвешенными неориентированными графами общего вида.

Время исполнения и размер (2k–1)-остова, вычисляемого Алгоритмом II, отличаются в k раз от соответствующих нижних границ для худшего случая. Для любого константного значения k оба эти параметра являются оптимальными. Однако для экстремального значения k, а именно – для k = log n, имеется отклонение с коэффициентом log n. Возможно ли избавиться от этого мультипликативного множителя k ко времени исполнения алгоритма и/или размеру вычисляемого (2k–1)-остова? Представляется, что для решения этой задачи могут быть полезны более тщательный анализ и передовые теоретико-вероятностные инструменты.