Связное доминирующее множество: различия между версиями

Вычисление МСДМ для графа единичных кругов также является NP-полной задачей; однако можно построить неплохую аппроксимацию для ее решения; Чен и коллеги [5] представили для нее схему аппроксимации с полиномиальным временем исполнения.

Гуха и Хуллер [10] привели доказательство отрицательного результата, заключающегося в следующем: не существует аппроксимации с полиномиальным временем исполнения и коэффициентом эффективности <math>\rho\ ln \Delta\ </math> для <math>\rho\ < 1</math>, за исключением случая <math>NP \subseteq DTIME(n^{O(lnln n)})</math>. Как показано в [8], доминирующие множества не поддаются произвольно качественной аппроксимации, за исключением случаев, когда P почти равно NP. Эти результаты переносят фокус внимания с графов общего вида на графы единичных кругов, поскольку граф единичных кругов представляет собой базовую модель для беспроводных сенсорных сетей, и для графов единичных кругов построение МСДМ имеет аппроксимацию с полиномиальным временем исполнения и константным коэффициентом эффективности. Хотя этот константный коэффициент время от времени удается улучшить [1, 2, 19, 24], Чен и коллеги [5] поставили точку в этом вопросе, доказав существование схемы аппроксимации с полиномиальным временем исполнения (PTAS) для графов единичных кругов. Это значит, что теоретически коэффициент эффективности для алгоритма аппроксимации с полиномиальным временем исполнения может оказаться не выше <math>1 + \varepsilon\ </math> для любого положительного <math>\varepsilon\ </math>.

Дубхаши и коллеги [7] показали, что после построения доминирующего множества можно легко вычислить связное доминирующее множество при помощи распределенного алгоритма. Самое полное изложение результатов вычисления доминирующих множеств приведено в [18]. В частности, в этой работе простая константная аппроксимация доминирующих множеств графами единичных кругов. Аппроксимация с константным коэффициентом (связных) доминирующих множеств с минимальными весами для графов единичных кругов была исследована в [3]. Схема аппроксимации с полиномиальным временем исполнения для задачи вычисления минимального доминирующего множества для графов единичных кругов была предложена в [20]. Кун и коллеги [14] доказали, что максимальное независимое множество (и, следовательно, доминирующее множество) можно вычислить за асимптотически оптимальное время O(log n) для графов единичных кругов и крупного класса ограниченных графов независимости. Люби [17] предложил элегантный локальный алгоритм для вычисления максимального независимого множества для графов общего вида с временем исполнения O(log n). Джиа и коллеги [11] предложили быструю распределенную схему аппроксимации для вычисления доминирующего множества для графов общего вида с временем исполнения O(log n). Первый распределенный алгоритм для вычисления доминирующих множеств за константное время с нетривиальным коэффициентом аппроксимации для графов общего вида был приведен в [15]. Соответствующая нижняя граница <math>\Omega\ (log n) \; </math> считается классическим результатом для распределенного вычисления [16]. Получить схему аппроксимации с полиномиальным временем исполнения для графов единичных кругов можно при помощи распределенного алгоритма [13]. Самый быстрый детерминистский распределенный алгоритм для вычисления доминирующих множеств на графах единичных кругов был приведен в [12], а самый быстрый рандомизированный распределенный алгоритм для них же – в [9].

Построение схемы аппроксимации с полиномиальным временем исполнения для минимального связного доминирующего множества (МСДМ) базируется на факте существования схемы с полиномиальным временем исполнения и константным коэффициентом эффективности. Этот факт довольно легко обнаружить. Прежде всего, заметим, что единичный диск содержит не более пяти независимых вершин [2]. Из этого следует, что любое максимальное независимое множество имеет размер не более 1 + 4opt, где opt – размер МСДМ. Кроме того, каждое максимальное независимое множество является доминирующим множеством, и можно легко построить максимальное независимое множество с остовным деревом, состоящим из всех ребер длины 2. Все вершины этого остовного дерева образуют связное доминирующее множество размером не более 1 + 8opt. Благодаря улучшению верхней границы размера максимального независимого множества [25] и возможности соединения максимальных независимых множеств [19] значение константного коэффициента было улучшено до 6,8 для распределенного реализации алгоритма.