4501
правка
Квантовый алгоритм для решения задачи дискретного логарифмирования: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
м
Квантовый алгоритм для решения задачи дискретного логарифмирования (посмотреть исходный код)
Версия от 19:28, 7 марта 2023
, 7 марта 2023→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 43: | Строка 43: | ||
Заметим, что <math>\{ | \hat{l} \rangle \}_{0 \le l \le r - 1}</math> образует ортонормальный базис <math>\mathbb{C} [ \langle a \rangle ]</math>, где <math>\langle a \rangle</math> – подгруппа, порожденная a в G и изоморфная <math>\mathbb{Z}_r</math>, а <math>\mathbb{C} [ \langle a \rangle ]</math> обозначает гильбертово пространство функций от <math>\langle a \rangle</math> над полем комплексных чисел. | Заметим, что <math>\{ | \hat{l} \rangle \}_{0 \le l \le r - 1}</math> образует ортонормальный базис <math>\mathbb{C} [ \langle a \rangle ]</math>, где <math>\langle a \rangle</math> – подгруппа, порожденная <math>a</math> в G и изоморфная <math>\mathbb{Z}_r</math>, а <math>\mathbb{C} [ \langle a \rangle ]</math> обозначает гильбертово пространство функций от <math>\langle a \rangle</math> над полем комплексных чисел. | ||
'''Алгоритм 1 ( | '''Алгоритм 1 (дискретное логарифмирование)''' | ||
Дано: элементы <math>a, b \in G</math>, квантовая схема для U, порядок r для a в G. | Дано: элементы <math>a, b \in G</math>, квантовая схема для U, порядок r для <math>a</math> в G. | ||
Требуется: найти с постоянной вероятностью дискретный логарифм s от b по основанию a в G. | Требуется: найти с постоянной вероятностью дискретный логарифм s от b по основанию <math>a</math> в G. | ||
Время выполнения: суммарно <math>O(t^3)</math> базовых вентильных операций, включая четыре вызова <math>QFT_{\mathbb{Z}_r}</math> и один вызов U. | Время выполнения: суммарно <math>O(t^3)</math> базовых вентильных операций, включая четыре вызова <math>QFT_{\mathbb{Z}_r}</math> и один вызов U. | ||
| Строка 70: | Строка 70: | ||
Применить U | Применить U | ||
(d) <math> \mapsto r^{-1/2} \sum_{l = 0}^{r - 1} |sl mod r \rangle |l \rangle |\hat{l} \rangle</math> | (d) <math> \mapsto r^{-1/2} \sum_{l = 0}^{r - 1} |sl \; mod \; r \rangle |l \rangle |\hat{l} \rangle</math> | ||
Применить <math>QFT_{\mathbb{Z}_r}</math> к первым двум регистрам; | Применить <math>QFT_{\mathbb{Z}_r}</math> к первым двум регистрам; | ||
| Строка 80: | Строка 80: | ||
2. Если <math>l_1</math> не совпадает с <math>l_2</math>, прервать вычисление. | 2. Если <math>l_1</math> не совпадает с <math>l_2</math>, прервать вычисление. | ||
3. Пусть <math>k_1, k_2</math> | 3. Пусть <math>k_1, k_2</math> – целые числа, такие, что <math>k_1 l_1 + k_2 l_2 = 1</math>. Вывести <math>s = k_1(sl_1) + k_2(sl_2) mod \; r</math>. | ||