K-КНФ-алгоритмы на основе поиска с возвратом: различия между версиями

Эти алгоритмы обычно применяют один из двух подходов к поиску решения задачи выполнимости. Первый класс составляют алгоритмы поиска с возвратом. Эти алгоритмы, изначально предложенные Дэвисом, Логеманом и Лавлендом [4], иногда называют процедурами Дэвиса-Патнем. Подобные алгоритмы пытаются найти присваивание, на котором формула оказывается выполнимой, назначая в некотором порядке значения каждой переменной и выполняя возврат в случае, если дизъюнкт оказался ложным. Другой класс алгоритмов построен на использовании локального поиска (первые результаты с гарантированной эффективностью были получены Шонингом [12]). Алгоритм начинает работу со случайно или стратегически выбранного присваивания и выполняет локальный поиск присваиваний, результатом которых является выполнимость формулы, ориентируясь на невыполняющиеся дизъюнкты.

Далее будет представлен '''ResolveSat''', рандомизированный алгоритм проверки выполнимости k-КНФ с одними из лучших известных на данный момент верхних границ. Он основан на более раннем алгоритме, предложенном Патури, Пудлаком и Зейном [10] и представляющим собой алгоритм поиска с возвратом, который проверяет переменные в случайно выбранном порядке. Анализ алгоритма основывается на следующем наблюдении: до тех пор пока у формулы имеется присваивание, на котором она оказывается выполнимой, изолированное от других аналогичных присваиваний, треть переменных встречается в виде единичных дизъюнктов, поскольку переменные присваиваются в случайном порядке. Таким образом, алгоритму нужно правильно угадать значения не более чем 2/3 переменных. Этот анализ был расширен для общего случая благодаря следующему наблюдению: либо существует изолированное присваивание, на котором формула выполнима, либо существует много решений, так что вероятность угадать подходящее достаточно высока.

ResolveSat объединяет эти идеи и стремление значительно улучшить границы [9]. На данный момент алгоритму ResolveSat удается обеспечить наилучшие известные верхние границы для задачи выполнимости k-КНФ для всех <math>k \ge 5 \;</math>. Для k = 3 и k = 4 Ивама и Таками [6] получили наилучшую известную верхнюю границу при помощи рандомизированного алгоритма, сочетающего идеи алгоритма локального поиска Шонинга и ResolveSat. Более того, для задачи с предусловием о существовании единственного решения задачи выполнимости k-КНФ, считающейся одной из самых трудных вариаций задачи о выполнимости k-КНФ [2], ResolveSat достигает рекордных значений для всех <math>k \ge 3 \;</math>. Границы, полученные ResolveSat для задачи с единственным решением и задачи общего вида для значений k = 3, 4, 5, 6, представлены в таблице 1. Эти границы сравниваются с границами алгоритма Шонинга [12], последовательно улучшенными результатами на базе локального поиска [1, 5, 11] и недавними изменениями, предложенными Ивамой и Таками [6]. Полученные для этих алгоритмов верхние границы выражаются в форме <math>2^{cn - o(n)} \;</math>, а значения в таблице отражают показатель c. Это сравнение охватывает только лучшие границы вне зависимости от типа алгоритма (рандомизированного или детерминированного).