Протяженность геометрических сетей: различия между версиями

называется протяженностью множества точек S. Задача заключается в вычислении или ограничении <math>\Sigma(S) \;</math> для данного множества S.

== Родственные работы ==

'''Теорема 3 ([4]). Пусть N – бесконечная плоская сеть, все грани которой имеют диаметр, ограниченный сверху некоторой константой. Тогда имеет место соотношение <math>\sigma(N) > 1,00156 \;</math>.'''

Для доказательства этой верхней границы встроим любое заданное конечное множество точек S в множество вершин масштабированной и слегка деформированной конечной части сети, представленной на рис. 2. Ее можно получить из упаковки равносторонних треугольников в результате замены каждой вершины маленьким треугольником и соединения соседних треугольников указанным образом.

== Применение ==

== Открытые вопросы ==

Для практического применения в дополнение к верхним границам протяженности пригодились бы верхние границы веса (т.е. общей длины ребер) геометрической сети. Некоторые теоретические вопросы также требуют дополнительного исследования. Всегда ли <math>\Sigma(S) \;</math> достигается для конечной сети? Как вычислить (точно или приближенно) <math>\Sigma(S) \;</math> для заданного конечного множества S? Даже для такого простого множества, как <math>S_5 \;</math>, представляющего собой углы правильного пятиугольника, протяженность неизвестна. Наименьшее известное значение протяженности для триангуляции, среди вершин которой содержится <math>S_5 \;</math>, равно 1,0204 (см. рис. 3). Наконец, чему равно точное значение <math> sup \{ \Sigma(S); S \; finite \}</math>?

== См. также ==