4551
правка
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
== Родственные работы == | == Родственные работы == | ||
Если разрешены пересечения ребер, можно использовать остовы, протяженность которых может быть сделана произвольно близкой к 1; подробнее см. в монографиях Эпштейна [ ] либо Нарасимхана и Смида [12]. Известны различные типы триангуляций S с коэффициентами растяжения, ограниченными сверху небольшими константами; среди них стоит упомянуть триангуляцию Делоне с коэффициентом растяжения | Если разрешены пересечения ребер, можно использовать остовы, протяженность которых может быть сделана произвольно близкой к 1; подробнее см. в монографиях Эпштейна [6] либо Нарасимхана и Смида [12]. Известны различные типы триангуляций S с коэффициентами растяжения, ограниченными сверху небольшими константами; среди них стоит упомянуть триангуляцию Делоне с коэффициентом растяжения, не превышающим 2,42; см. Добкин и др. [3], Кил и Гутвин [10], Дас и Джозеф [2]. Эпштейн [5] дал характеристику всех триангуляций T протяженностью <math>\sigma(T) = 1 \;</math>; эти триангуляции представлены на рис. 1. Очевидно, <math>\Sigma(S) = 1 \;</math> выполняется для любого множества точек S, содержащегося в множестве вершин подобной триангуляции T. | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Строка 34: | Строка 34: | ||
Теорема 1 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то | '''Теорема 1 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то <math>\Sigma(S) > 1 \;</math>.''' | ||
Иначе говоря, если множество точек S не является одним из этих специальных множеств, то любая плоская сеть, множество вершин которой включает S, имеет протяженность выше некоторой нижней границы 1 + r](S). Доказательство теоремы 1 использует следующее соображение о плотности. Предположим, что каждая пара точек из S соединена отрезком прямой. Обозначим за S0 объединение S и всех получившихся точек пересечения. Применим то же самое построение к S0 и затем повторим процесс. Для множества предельных точек S1 верна следующая теорема. Она обобщает работы Хиллара и Ри [8], а также Исмаилеску и Радойчича [ ], посвященные пересечениям линий. | Иначе говоря, если множество точек S не является одним из этих специальных множеств, то любая плоская сеть, множество вершин которой включает S, имеет протяженность выше некоторой нижней границы 1 + r](S). Доказательство теоремы 1 использует следующее соображение о плотности. Предположим, что каждая пара точек из S соединена отрезком прямой. Обозначим за S0 объединение S и всех получившихся точек пересечения. Применим то же самое построение к S0 и затем повторим процесс. Для множества предельных точек S1 верна следующая теорема. Она обобщает работы Хиллара и Ри [8], а также Исмаилеску и Радойчича [ ], посвященные пересечениям линий. | ||
Строка 74: | Строка 75: | ||
Д. Эпштейн [ ] задался вопросом, что станет с газоном, если этот процесс будет продолжаться достаточно долго. | Д. Эпштейн [5] задался вопросом, что станет с газоном, если этот процесс будет продолжаться достаточно долго. Вышеприведенные результаты говорят о том, что, во-первых, часть газона будет полностью уничтожена и, во-вторых, искушение срезать дорогу через газон не может быть в общем случае сделано произвольно малым при помощи продуманной прокладки сети путей. | ||
== Открытые вопросы == | == Открытые вопросы == |
правка