Протяженность геометрических сетей: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
м
нет описания правки
мНет описания правки
Строка 28: Строка 28:


== Родственные работы ==
== Родственные работы ==
Если разрешены пересечения ребер, можно использовать остовы, протяженность которых может быть сделана произвольно близкой к 1; подробнее см. в монографиях Эпштейна [ ] либо Нарасимхана и Смида [12]. Известны различные типы триангуляций S с коэффициентами растяжения, ограниченными сверху небольшими константами; среди них стоит упомянуть триангуляцию Делоне с коэффициентом растяжения < 2:42; см. Добкин и др. [ ], Кил и Гутвин [10], Дас и Джозеф [ ]. Эпштейн [ ] дал характеристику всех триангуляций T протяженностью ff(T) = 1; эти триангуляции представлены на рис. 1. Очевидно, S(S) = 1 выполняется для любого множества точек S, содержащегося в множестве вершин подобной триангуляции T.
Если разрешены пересечения ребер, можно использовать остовы, протяженность которых может быть сделана произвольно близкой к 1; подробнее см. в монографиях Эпштейна [6] либо Нарасимхана и Смида [12]. Известны различные типы триангуляций S с коэффициентами растяжения, ограниченными сверху небольшими константами; среди них стоит упомянуть триангуляцию Делоне с коэффициентом растяжения, не превышающим 2,42; см. Добкин и др. [3], Кил и Гутвин [10], Дас и Джозеф [2]. Эпштейн [5] дал характеристику всех триангуляций T протяженностью <math>\sigma(T) = 1 \;</math>; эти триангуляции представлены на рис. 1. Очевидно, <math>\Sigma(S) = 1 \;</math> выполняется для любого множества точек S, содержащегося в множестве вершин подобной триангуляции T.


== Основные результаты ==
== Основные результаты ==
Строка 34: Строка 34:




Теорема 1 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то S(S) > 1.
'''Теорема 1 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то <math>\Sigma(S) > 1 \;</math>.'''
 
Иначе говоря, если множество точек S не является одним из этих специальных множеств, то любая плоская сеть, множество вершин которой включает S, имеет протяженность выше некоторой нижней границы 1 + r](S). Доказательство теоремы 1 использует следующее соображение о плотности. Предположим, что каждая пара точек из S соединена отрезком прямой. Обозначим за S0 объединение S и всех получившихся точек пересечения. Применим то же самое построение к S0 и затем повторим процесс. Для множества предельных точек S1 верна следующая теорема. Она обобщает работы Хиллара и Ри [8], а также Исмаилеску и Радойчича [ ], посвященные пересечениям линий.
Иначе говоря, если множество точек S не является одним из этих специальных множеств, то любая плоская сеть, множество вершин которой включает S, имеет протяженность выше некоторой нижней границы 1 + r](S). Доказательство теоремы 1 использует следующее соображение о плотности. Предположим, что каждая пара точек из S соединена отрезком прямой. Обозначим за S0 объединение S и всех получившихся точек пересечения. Применим то же самое построение к S0 и затем повторим процесс. Для множества предельных точек S1 верна следующая теорема. Она обобщает работы Хиллара и Ри [8], а также Исмаилеску и Радойчича [ ], посвященные пересечениям линий.


Строка 74: Строка 75:




Д. Эпштейн [ ] задался вопросом, что станет с газоном, если этот процесс будет продолжаться достаточно долго. \вышеприведенные результаты говорят о том, что, во-первых, часть газона будет полностью уничтожена и, во-вторых, искушение срезать дорогу через газон не может быть в общем случае сделано произвольно малым при помощи продуманной прокладки сети путей.
Д. Эпштейн [5] задался вопросом, что станет с газоном, если этот процесс будет продолжаться достаточно долго. Вышеприведенные результаты говорят о том, что, во-первых, часть газона будет полностью уничтожена и, во-вторых, искушение срезать дорогу через газон не может быть в общем случае сделано произвольно малым при помощи продуманной прокладки сети путей.


== Открытые вопросы ==
== Открытые вопросы ==
4551

правка

Навигация