Метрическая задача коммивояжера: различия между версиями

Лемма 1. Пусть T – минимальное остовное дерево G = (V, E, w). Тогда w(T) < OPT.

Теорема 2. Алгоритм 1 всегда возвращает гамильтонов обход, вес которого не более чем вдвое превышает вес оптимального обхода. Он имеет полиномиальное время выполнения.

Доказательство. Согласно лемме 1, w(T) < OPT. Поскольку мы удваиваем каждое ребро T, вес T’ составляет w(T0) = 2w(T) < 2OPT. В результате сокращения обхода на шаге 3 путь в T’ заменяется одним ребром. Согласно неравенству треугольника, сумма весов ребер на таком пути не меньше веса ребра, которым он заменяется. (Для произвольных весовых функций данный алгоритм оказывается недействительным). Следовательно, w(T) < OPT. Это доказывает утверждение по поводу эффективности аппроксимации.

Время выполнения определяется главным образом временем вычисления минимального остовного дерева – которое, очевидно, является полиномиальным. □