4551
правка
Остовное дерево с максимальным количеством листьев: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
м
Остовное дерево с максимальным количеством листьев (посмотреть исходный код)
Версия от 23:21, 15 августа 2016
, 15 августа 2016→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 48: | Строка 48: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Основным результатом является метод | Основным результатом является ''метод экстремальной структуры'', используемый в качестве системного подхода к разработке FPT-алгоритмов. Рассмотрим пять перечисленных выше взаимосвязанных целей, проиллюстрировав каждую при помощи данной задачи. | ||
Цель (а): FPT-алгоритмы | '''Цель (а): FPT-алгоритмы''' | ||
Задача заключается в нахождении правил предварительной обработки (кернелизации) с полиномиальным временем выполнения, где g(k) насколько возможно мало. Это будет важно впоследствии в контексте цели (б). | Задача заключается в нахождении правил предварительной обработки (кернелизации) с полиномиальным временем выполнения, где g(k) насколько возможно мало. Это будет важно впоследствии в контексте цели (б). | ||
| Строка 69: | Строка 69: | ||
В общем случае экземпляр параметризованной задачи состоит из пары (x, k) и «границы», которая вычисляется посредством фиксации x и изменения k с последующим определением, какой ответ имеет задача разрешимости – «да» или «нет. Представляет интерес величина границы при редукции x. Типичная граничная лемма выглядит следующим образом. | В общем случае экземпляр параметризованной задачи состоит из пары (x, k) и «границы», которая вычисляется посредством фиксации x и изменения k с последующим определением, какой ответ имеет [[задача разрешимости]] – «да» или «нет. Представляет интерес величина границы при редукции x. Типичная граничная лемма выглядит следующим образом. | ||
Лемма 2. Пусть (G, k) – экземпляр задачи построения остовного дерева с максимальным количеством листьев после редукции, для которого (G, k) является «да-экземпляром», а (G, k + 1) – «нет-экземпляром». Тогда |G| < | '''Лемма 2.''' Пусть (G, k) – экземпляр задачи построения остовного дерева с максимальным количеством листьев после редукции, для которого (G, k) является «да-экземпляром», а (G, k + 1) – «нет-экземпляром». Тогда <math>|G| \le ck \;</math> (где c – небольшая константа, значение которой будет вычислено в результате решения). | ||
| Строка 96: | Строка 96: | ||
Цель (б): предварительная обработка с полиномиальным временем выполнения и подпрограммы редукции данных | '''Цель (б): предварительная обработка с полиномиальным временем выполнения и подпрограммы редукции данных''' | ||
Ниже приводится пример таблицы, используемой для отслеживания каждого возможного состояния границы для возможного решения. Можно привести примеры, демонстрирующие исключительно успешное каскадное применение правил редукции данных к реальным распределениям данных и описывающие разнообразие математических феноменов, относящихся к правилам редукции. Например, некоторые правила редукции – такие как правило разложения на составляющие Клейтмана-Веста для задачи ОДМЛ (рис. 2) – имеют фиксированный «размер границы» (в данном случае равный 2), тогда как правила редукции типа «корона» не имеют такового. | Ниже приводится пример таблицы, используемой для отслеживания каждого возможного состояния границы для возможного решения. Можно привести примеры, демонстрирующие исключительно успешное каскадное применение правил редукции данных к реальным распределениям данных и описывающие разнообразие математических феноменов, относящихся к правилам редукции. Например, некоторые правила редукции – такие как правило разложения на составляющие Клейтмана-Веста для задачи ОДМЛ (рис. 2) – имеют фиксированный «размер границы» (в данном случае равный 2), тогда как правила редукции типа «корона» не имеют такового. | ||
Цель (в): градиенты и преобразования решений для локального поиска | |||
'''Цель (в): градиенты и преобразования решений для локального поиска''' | |||
Здесь производится обобщение обычной формулировки для локального поиска, основанное на степени более сложного градиента в процессе получения более высоких границ кернелизации. Первая идея заключается в проведении локального поиска на основе поддержки «текущей структуры-свидетеля», а не полного решения (остовного дерева). Вторая идея состоит в использовании списка индуктивных приоритетов для определения градиента «лучшего решения» для локального поиска. | Здесь производится обобщение обычной формулировки для локального поиска, основанное на степени более сложного градиента в процессе получения более высоких границ кернелизации. Первая идея заключается в проведении локального поиска на основе поддержки «текущей структуры-свидетеля», а не полного решения (остовного дерева). Вторая идея состоит в использовании списка индуктивных приоритетов для определения градиента «лучшего решения» для локального поиска. | ||
Цель (г): алгоритмы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения | '''Цель (г): алгоритмы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения''' | ||
Теория использования экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения напрямую приводит к получению алгоритма аппроксимации ОДМЛ с константным множителем и полиномиальным временем выполнения. Вначале выполним редукцию G при помощи правил кернелизации. Правила редукции сохраняют параметры аппроксимации. Возьмем любое дерево T (не обязательно остовное) в G. Если выполняются все утверждения касательно структуры, тогда (согласно рассуждениям граничной леммы) дерево T должно иметь не менее n/c листьев для c = 3,75. Таким образом, восстановив T с учетом произведенной редукции, получим c-аппроксимацию. | Теория использования экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения напрямую приводит к получению алгоритма аппроксимации ОДМЛ с константным множителем и полиномиальным временем выполнения. Вначале выполним редукцию G при помощи правил кернелизации. Правила редукции сохраняют параметры аппроксимации. Возьмем любое дерево T (не обязательно остовное) в G. Если выполняются все утверждения касательно структуры, тогда (согласно рассуждениям граничной леммы) дерево T должно иметь не менее n/c листьев для c = 3,75. Таким образом, восстановив T с учетом произведенной редукции, получим c-аппроксимацию. | ||
| Строка 117: | Строка 117: | ||
Цель ( | '''Цель (д): структура, используемая для определения экологии сложности''' | ||
Цель заключается в том, чтобы понять, как именно каждый параметр, определяющий входные данные задачи, влияет на сложность всех других задач. В качестве примера рассмотрим таблицу 1: | Цель заключается в том, чтобы понять, как именно каждый параметр, определяющий входные данные задачи, влияет на сложность всех других задач. В качестве примера рассмотрим таблицу 1: | ||
| Строка 128: | Строка 128: | ||
Здесь используются следующие сокращения: TW – это древесная ширина дерева (TREEWIDTH), BW – ширина полосы (BANDWIDTH), VC – вершинное покрытие (VERTEX COVER), DS – доминирующее множество (DOMINATING SET), G – род (GENUS), а ML – максимальное количество листьев (MAX LEAF). Обозначение во второй строке и четвертом столбце говорит о том, существует ли FPT-алгоритм для решения задачи DOMINATING SET на графе G с шириной полосы не более k. Обозначение в четвертой строке и втором столбце говорит о том, что неизвестно, может ли задача BANDWIDTH быть оптимально решена FPT-алгоритмом, если параметром является граница числа доминирования входного графа. | Здесь используются следующие сокращения: TW – это древесная ширина дерева (TREEWIDTH), BW – ширина полосы (BANDWIDTH), VC – вершинное покрытие (VERTEX COVER), DS – доминирующее множество (DOMINATING SET), G – род (GENUS), а ML – максимальное количество листьев (MAX LEAF). Обозначение во второй строке и четвертом столбце говорит о том, существует ли FPT-алгоритм для решения задачи DOMINATING SET на графе G с шириной полосы не более k. Обозначение в четвертой строке и втором столбце говорит о том, что неизвестно, может ли задача BANDWIDTH быть оптимально решена FPT-алгоритмом, если параметром является граница числа доминирования входного графа. | ||
MAX LEAF применяется к последней строке таблицы. Для графов с максимальным количеством листьев, ограниченным k, максимальный размер независимого множества может быть вычислен за время <math>O^* (2,972^k) \;</math> на основе редукции ядра размером не более 7k. Использование результата решения одной задачи в качестве исходных данных для другой задачи оказывается весьма практичным. | |||
== Применение == | == Применение == | ||