Алгоритмы поиска остова во взвешенном графе: различия между версиями

Этот алгоритм выбирает дуги для остова по принципу жадности; он напоминает алгоритм Крускала для вычисления минимального остовного дерева. Дуги графа обрабатываются в порядке возрастания их весов. Начиная с остова <math>E_{S} = \varnothing</math>, алгоритм последовательно добавляет дуги. Решение о том, добавлять ли некоторую дугу (скажем, <math>(u, v) \, </math>) к <math>E_{S} \, </math> или нет, принимается на основе следующего соображения:

''Если расстояние между u и v в подграфе, индуцированном текущими дугами остова <math>E_{S} \, </math>, больше, чем t-weight(M, v), то дугу (u, v) следует добавить к to <math>E_{S} \, </math>, в противном случае отбросить.''

Из этого следует, что <math>P_{t}(x, y) \, </math> будет выполняться для каждой дуги E, не входящей в <math>E_{S} \, </math>, так что в конце концов подграф <math>(v, E_{S}) \, </math> будет представлять собой t-остов. Хорошо известное утверждение элементарной теории графов гласит, что граф с более чем <math>n^{1+\frac{1}{k}}</math> дугами должен содержать цикл длиной не более 2k. Из приведенного выше алгоритма следует, что длина любого цикла в подграфе <math>(V, E_{S}) \, </math> должна составлять не менее t + 1. Следовательно, для t = 2k – 1 количество дуг в подграфе <math>(V, E_{S}) \, </math> будет менее <math>n^{1+\frac{1}{k}}</math>. Таким образом, Алгоритм I вычисляет (2k–1)-остов размера <math>O(n^{1+\frac{1}{k}})</math>, что является оптимальным, с учетом вышеупомянутой нижней границы.