4551
правка
Связное доминирующее множество: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Связное доминирующее множество (посмотреть исходный код)
Версия от 14:12, 22 января 2013
, 22 января 2013→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Построение схемы аппроксимации с полиномиальным временем исполнения для минимального связного доминирующего множества (МСДМ) базируется на факте существования схемы с полиномиальным временем исполнения и константным коэффициентом эффективности. Этот факт довольно легко обнаружить. Прежде всего, заметим, что единичный диск содержит не более пяти независимых вершин [ ]. Из этого следует, что любое максимальное независимое множество имеет размер не более 1 + 4opt, где opt – размер МСДМ. Кроме того, каждое максимальное независимое множество является доминирующим множеством, и можно легко построить максимальное независимое множество с остовным деревом, состоящим из всех дуг длины 2. Все вершины этого остовного дерева образуют связное доминирующее множество размером не более 1 + 8opt. Благодаря улучшению верхней границы размера максимального независимого множества [25] и возможности соединения максимальных независимых множеств [19] значение константного коэффициента было улучшено до 6,8 для распределенного реализации алгоритма. | Построение схемы аппроксимации с полиномиальным временем исполнения для минимального связного доминирующего множества (МСДМ) базируется на факте существования схемы с полиномиальным временем исполнения и константным коэффициентом эффективности. Этот факт довольно легко обнаружить. Прежде всего, заметим, что единичный диск содержит не более пяти независимых вершин [2]. Из этого следует, что любое максимальное независимое множество имеет размер не более 1 + 4opt, где opt – размер МСДМ. Кроме того, каждое максимальное независимое множество является доминирующим множеством, и можно легко построить максимальное независимое множество с остовным деревом, состоящим из всех дуг длины 2. Все вершины этого остовного дерева образуют связное доминирующее множество размером не более 1 + 8opt. Благодаря улучшению верхней границы размера максимального независимого множества [25] и возможности соединения максимальных независимых множеств [19] значение константного коэффициента было улучшено до 6,8 для распределенного реализации алгоритма. | ||
В этом построении главным образом используются техники неадаптивного разбиения и сдвига. В общем случае ход действий примерно таков: вначале квадрат, содержащий все вершины исходного графа единичных дисков, разделяется на решетку из небольших ячеек. Каждая из этих ячеек далее разбивается на две области – центральную и граничную. Центральная область состоит из точек, находящихся на расстоянии h от границы ячейки. Граничная область состоит из точек, расстояние от которых до границы ячейки составляет не более h + 1. Таким образом, эти области перекрываются. После этого минимальное объединение связных доминирующих множеств вычисляется в каждой ячейке для связных компонент центральной области ячейки. Основная задача состоит в том, чтобы доказать, что объединение всех таких минимальных объединений не превышает минимального связного доминирующего множества для всего графа. Для вершин, не принадлежащих к центральным областям, для вычисления доминирующего множества используется часть 8-аппроксимации, лежащая в граничных областях. Вместе с упоминавшимся ранее объединением она образует связное доминирующее множество для всего исходного графа единичных дисков. Перемещая решетку для получения разбиения по разным координатам, можно получить разбиение с граничной областью, имеющей очень малую верхнюю границу. | В этом построении главным образом используются техники неадаптивного разбиения и сдвига. В общем случае ход действий примерно таков: вначале квадрат, содержащий все вершины исходного графа единичных дисков, разделяется на решетку из небольших ячеек. Каждая из этих ячеек далее разбивается на две области – центральную и граничную. Центральная область состоит из точек, находящихся на расстоянии h от границы ячейки. Граничная область состоит из точек, расстояние от которых до границы ячейки составляет не более h + 1. Таким образом, эти области перекрываются. После этого минимальное объединение связных доминирующих множеств вычисляется в каждой ячейке для связных компонент центральной области ячейки. Основная задача состоит в том, чтобы доказать, что объединение всех таких минимальных объединений не превышает минимального связного доминирующего множества для всего графа. Для вершин, не принадлежащих к центральным областям, для вычисления доминирующего множества используется часть 8-аппроксимации, лежащая в граничных областях. Вместе с упоминавшимся ранее объединением она образует связное доминирующее множество для всего исходного графа единичных дисков. Перемещая решетку для получения разбиения по разным координатам, можно получить разбиение с граничной областью, имеющей очень малую верхнюю границу. | ||
[[Файл:CDS_1.jpg]] | |||
Рис. 1. Квадраты <math>Q \; </math> и <math>\bar{Q}</math> | |||
Рис. 1. Квадраты Q и Q | |||
| Строка 105: | Строка 105: | ||
Доказательство. Очевидно, что K(a) [ F(a) является доминирующим множеством для исходного графа G. Его связность можно показать следующим образом. Заметим, что центральная и граничная области перекрываются на область шириной 1. Таким образом, для любого связного компонента H подграфа Ge(h), у F(a) имеется вершина в H. Следовательно, F(a) должен иметь связь с любым связным доминирующим множеством для H, особенно с DH в K(a). Это означает, что DH устанавливает связи с F, потерянные в результате отрезания части в H. Следовательно, связность K(a) [ F(a) следует из связности F. □ | Доказательство. Очевидно, что K(a) [ F(a) является доминирующим множеством для исходного графа G. Его связность можно показать следующим образом. Заметим, что центральная и граничная области перекрываются на область шириной 1. Таким образом, для любого связного компонента H подграфа Ge(h), у F(a) имеется вершина в H. Следовательно, F(a) должен иметь связь с любым связным доминирующим множеством для H, особенно с DH в K(a). Это означает, что DH устанавливает связи с F, потерянные в результате отрезания части в H. Следовательно, связность K(a) [ F(a) следует из связности F. □ | ||
== Применение == | == Применение == | ||