Алгоритмы поиска остова во взвешенном графе: различия между версиями

Из этого следует, что P<math>_{t}</math>(x, y) будет выполняться для каждой дуги E, не входящей в E<math>_{S}</math>, так что в конце концов подграф (v, E<math>_{S}</math>) будет представлять собой t-остов. Хорошо известное утверждение элементарной теории графов гласит, что граф с более чем n1+1/k дугами должен содержать цикл длиной не более 2k. Из приведенного выше алгоритма следует, что длина любого цикла в подграфе (V, E<math>_{S}</math>) должна составлять не менее t + 1. Следовательно, для t = 2k – 1 количество дуг в подграфе (V, ES) будет менее <math>n^{1+1/k}</math>. Таким образом, Алгоритм I вычисляет (2k–1)-остов размера O(<math>n^{1+1/k}</math>), что является оптимальным, с учетом вышеупомянутой нижней границы.

Простая реализация Алгоритма I размера O(<math>mn^{1+1/k}</math>) разработана на базе алгоритма Дейкстры. Коэн [9], а впоследствии – Торуп и Цвик [18] разработали алгоритмы для (2k–1)-остова с улучшенным временем исполнения – O(<math>kmn^{1/k}</math>). Эти алгоритмы используют для вычисления расстояния несколько вызовов алгоритма Дейкстры нахождения кратчайших путей с единственным источником и в силу этого неспособны достичь линейного времени исполнения. С другой стороны, поскольку остов должен аппроксимировать расстояния между всеми парами вершин в графе, было бы сложно вычислить остов, избегая получения явной информации о расстояниях. Как ни удивительно, Алгоритм II успешно избегает каких-либо вычислений расстояния и достигает почти линейного времени исполнения.

 

Пусть даны взвешенный граф G = (V, E) и целое число k > 1. Остов с коэффициентом растяжения (2k–1) и размером O(<math>kn^{1+1/k}</math>) может быть вычислен за время O(km).