Матроид

Матроид (Matroid) - комбинаторный объект, представляющий собой пару [math]\displaystyle{ (E, {\cal B}) }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math] --- конечное непустое множество элементов матроида, а [math]\displaystyle{ {\cal B} }[/math] --- непустое множество его подмножеств (называемых базами), удовлетворяющее следующим двум условиям (аксиомы баз):

B1. Никакая из баз не содержится в другой базе.

B2. Если [math]\displaystyle{ B_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ B_{2} }[/math] --- базы, то для любого элемента [math]\displaystyle{ b \in B_{1} }[/math] существует такой элемент [math]\displaystyle{ c \in B_{2} }[/math], что [math]\displaystyle{ (B_{1} \setminus b) \cup c }[/math] --- также база.

Существуют другие эквивалентные определения матроида, например, через семейства независимых множеств, через ранговую функцию, через циклы и т.д.

Понятие матроида является естественным обобщением понятия линейной зависимости и поэтому играет важную роль в комбинаторной теории.

См. также Бинарный матроид, Графический матроид, Кографический матроид, Планарный матроид.

Литература

[Лекции],

[Липский],

[Свами-Тхуласираман]