Независимые множества матроида: различия между версиями
Glk (обсуждение | вклад) (Создана новая страница размером '''Независимые множества матроида''' (''Independent sets of a matroid'') - семейство <math>{\cal I}<...) |
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Независимые множества матроида''' (''Independent sets of a matroid'') - | '''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'') - | ||
семейство <math>{\ | семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>E</math>, удовлетворяющих | ||
следующим аксиомам: | следующим аксиомам: | ||
(I0) <math>\emptyset \in {\ | (I0) <math>\emptyset \in {\mathcal I}</math>; | ||
(I1) если <math>X \in {\ | (I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>; | ||
(I2) если <math>X, \, Y</math> --- элементы из <math>{\ | (I2) если <math>X, \, Y</math> --- элементы из <math>{\mathcal I}</math> такие, что <math>|X| = |Y| + | ||
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in | 1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in | ||
{\ | {\mathcal I}</math>. | ||
Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\ | Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется {\it | ||
зависимым}. | зависимым}. | ||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
эквивалентные (I2): | эквивалентные (I2): | ||
(I'2) Если <math>X, Y \in {\ | (I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math> | ||
существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\ | существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>. | ||
(I | (I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X</math> существует | ||
такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\ | такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| = | ||
|X|</math>. | |X|</math>. | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
Версия от 10:11, 24 ноября 2009
Независимые множества матроида (Independent sets of a matroid) - семейство [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] подмножеств элементов из [math]\displaystyle{ E }[/math], удовлетворяющих следующим аксиомам:
(I0) [math]\displaystyle{ \emptyset \in {\mathcal I} }[/math];
(I1) если [math]\displaystyle{ X \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math], то [math]\displaystyle{ Y \in {\mathcal I} }[/math];
(I2) если [math]\displaystyle{ X, \, Y }[/math] --- элементы из [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ |X| = |Y| + 1 }[/math], то существует [math]\displaystyle{ x \in X \setminus Y }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].
Подмножество из [math]\displaystyle{ E }[/math], не принадлежащее [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math], называется {\it зависимым}.
Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять (I1) (I2). Кроме того, существуют варианты аксиомы (I'2), (I2), эквивалентные (I2):
(I'2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X \setminus Y }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].
(I"2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X }[/math] существует такое подмножество [math]\displaystyle{ Z }[/math], что [math]\displaystyle{ Y \cup Z \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y \cup Z| = |X| }[/math].
Литература
[Лекции],
[Welsh]