Конечный автомат

Конечный автомат (Finite-state automaton, Finite automation) — абстрактная машина, используемая для задания регулярных множеств. Конечный автомат состоит из входной ленты, входной головки и управляющего устройства. Входная лента — это линейная последовательность клеток, или ячеек, каждая из которых может содержать любой символ из [math]\displaystyle{ \,\Sigma }[/math]. В каждый данный момент входная головка читает, или, как иногда говорят, обозревает одну входную ячейку, а управляющее устройство находится в одном состоянии из конечного множества [math]\displaystyle{ \,Q }[/math], т.е. имеет конечную память.

Работа конечного автомата представляет собой некоторую последовательность шагов (или тактов). Каждый такт определяется текущим состоянием управляющего устройства и входным символом, обозреваемым в данный момент входной головкой. Сам шаг состоит из изменения состояния управляющего устройства и сдвига входной головки на одну ячейку вправо. Для каждой текущей конфигурации в общем случае существует конечное множество возможных следующих шагов, любой из которых конечный автомат может сделать, исходя из этой конфигурации.

Недетерминированный конечный автомат (или просто конечный автомат) — это пятерка [math]\displaystyle{ \,M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F) }[/math], в которой

(1) [math]\displaystyle{ \,Q }[/math] — конечное множество состояний;

(2) [math]\displaystyle{ \,\Sigma }[/math] — конечное множество допустимых входных символов;

(3) [math]\displaystyle{ \,\delta }[/math] — отображение множества [math]\displaystyle{ \,Q\times\Sigma }[/math] в множество подмножеств [math]\displaystyle{ \,Q }[/math], называемое функцией переходов;

(4) [math]\displaystyle{ q_0\in Q }[/math] — выделенное начальное состояние;

(5) [math]\displaystyle{ F\subseteq Q }[/math] — множество заключительных состояний.

Конечный автомат [math]\displaystyle{ \,M }[/math] называется детерминированным, если множество [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] содержит не более одного состояния для любых [math]\displaystyle{ q\in Q }[/math] и [math]\displaystyle{ a\in\Sigma }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] всегда содержит точно одно состояние, то автомат [math]\displaystyle{ \,M }[/math] называется полностью определенным.

Любая пара [math]\displaystyle{ (q,\omega)\in Q\times\Sigma^* }[/math] конфигурацией автомата [math]\displaystyle{ \,M }[/math]. Конфигурация [math]\displaystyle{ \,(q_0,\omega) }[/math] называется начальной, а пара [math]\displaystyle{ \,(q,e) }[/math], где [math]\displaystyle{ q\in F }[/math], называется заключительной (или допускающей).

Tакт работы автомата [math]\displaystyle{ \,M }[/math] представляется бинарным отношением [math]\displaystyle{ \vdash_M }[/math], определенным на конфигурациях. Если [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] содержит [math]\displaystyle{ \,p }[/math], то [math]\displaystyle{ (q,a\omega)\vdash_M(p,\omega) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \omega\in\Sigma^* }[/math]. Отношения [math]\displaystyle{ \vdash_{M}^{+} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vdash_{M}^{*} }[/math] являются соответственно транзитивным замыканием и рефлексивным и транзитивным замыканием отношения [math]\displaystyle{ \vdash_M }[/math].

Автомат [math]\displaystyle{ M }[/math] допускает цепочку [math]\displaystyle{ \omega\in\Sigma^* }[/math], если [math]\displaystyle{ (q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ q\in F }[/math].

Языком, определяемым (распознаваемым, допускаемым) автоматом [math]\displaystyle{ M }[/math] (обозначается [math]\displaystyle{ L(M) }[/math]), называется множество входных цепочек, допускаемых автоматом [math]\displaystyle{ M }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ L(M)=\{\omega:\omega\in\Sigma^* }[/math] и [math]\displaystyle{ (q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ q\in F\} }[/math].

Часто бывает удобно использовать графическое представление конечного автомата в виде так называемой диаграммы (или графа переходов) автомата — орграфа, вершины которого помечены символами состояний и в котором есть дуга [math]\displaystyle{ \,(p,q) }[/math], если существует такой символ [math]\displaystyle{ a\in\Sigma }[/math], что [math]\displaystyle{ q\in\delta(p,a) }[/math]. Кроме того, дуга [math]\displaystyle{ \,(p,q) }[/math] помечается списком, состоящим из таких [math]\displaystyle{ \,a }[/math], что [math]\displaystyle{ q\in\delta(p,a) }[/math].

На рисунке приведены два конечных автомата, допускающих язык [math]\displaystyle{ \,\{a^n b^m: n\gt 0, m\gt 0\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \,M_1 }[/math] — недетерминированный, [math]\displaystyle{ \,M_2 }[/math] — детерминированный полностью определенный.

См. также

• Преобразователь,

• Теорема о детерминизации.

Литература

• Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. — М.: Мир, 1978. — Т. 1,2.

• Касьянов В.Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. — Новосибирск: НГУ, 1995.
• Касьянов В.Н., Касьянова Е.В. Теория вычислений. — Новосибирск: НГУ, 2018.

• Касьянов В.Н., Поттосин И.В. Методы построения трансляторов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986.