Древесная ширина графа: различия между версиями

Версия от 16:50, 15 октября 2009

Древесная ширина графа (Treewidth of a graph) - для заданного графа [math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math] древесной декомпозицией называется пара [math]\displaystyle{ (\{X_{i}| \, i \in I\}, T = (I,F)) }[/math], где [math]\displaystyle{ \{X_{i} | \, i \in I\} }[/math] --- семейство подмножеств [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] --- дерево с множеством вершин [math]\displaystyle{ I }[/math] и множеством ребер [math]\displaystyle{ F \subseteq I \times I }[/math] такими, что

1) [math]\displaystyle{ \cup_{i \in I} X_{i} = V; }[/math]

2) для всех ребер [math]\displaystyle{ (v,w) \in E }[/math] существует [math]\displaystyle{ i \in I }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ v \in X_{i} }[/math]и [math]\displaystyle{ w \in X_{i} }[/math]

3) для всех [math]\displaystyle{ i, j, k \in I }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ j }[/math] лежит на пути в [math]\displaystyle{ T }[/math] из [math]\displaystyle{ i }[/math] в [math]\displaystyle{ k }[/math], справедливо включение [math]\displaystyle{ X_{i} \cap X_{k} \subseteq X_{j} }[/math].

Шириной древесной декомпозиции называется [math]\displaystyle{ \max_{i \in I} |X_{i}| - 1 }[/math]. Древесная ширина графа [math]\displaystyle{ G }[/math] определяется как наименьшая ширина древесной декомпозиции [math]\displaystyle{ G }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ tw(G) }[/math]. В частности, если в этом определении рассматривать не деревья, а пути (точнее, цепи), то получим определение путевой ширины [math]\displaystyle{ pw(G) }[/math].Так как всякий путь есть дерево, то имеет место неравенство

[math]\displaystyle{ tw(G) \leq pw(G). }[/math]

Древесная ширина (и соответственно путевая ширина) графа [math]\displaystyle{ G }[/math] связана с кликовым числом [math]\displaystyle{ \omega(G) }[/math] наименьшего хордального (соответственно интервального) графа, в который рассматриваемый граф [math]\displaystyle{ G }[/math] может быть вложен, следующим образом:

[math]\displaystyle{ tw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть хордальный граф и } G \subseteq H\} - 1 }[/math];

[math]\displaystyle{ pw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть интервальный граф и } G \subseteq H\} - 1 }[/math].

Графы с древесной шириной [math]\displaystyle{ k }[/math] известны также как частичные [math]\displaystyle{ k }[/math]-деревья.

Литература

[WG'94]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Древесная ширина графа''' (''Treewidth of a graph'') -
+'''Древесная ширина графа''' (''[[Treewidth of a graph]]'') - для заданного [[граф|графа]] <math>G = (V,E)</math> ''[[древесная декомпозиция|древесной декомпозицией]]'' называется пара <math>(\{X_{i}| \, i \in I\}, T = (I,F))</math>, где <math>\{X_{i} | \, i \in I\}</math> --- семейство
-для заданного графа <math>G = (V,E)</math> ''древесной декомпозицией''
+подмножеств <math>V</math> и <math>T</math> --- [[дерево]] с множеством [[вершина|вершин]] <math>I</math> и множеством [[ребро|ребер]] <math>F \subseteq I \times I</math> такими, что
-называется пара <math>(\{X_{i}| \, i
-\in I\}, T = (I,F))</math>, где <math>\{X_{i} | \, i \in I\}</math> --- семейство
-подмножеств <math>V</math> и <math>T</math>~--- дерево с множеством вершин <math>I</math> и множеством
-ребер <math>F \subseteq I \times I</math> такими, что
 ) <math>\cup_{i \in I} X_{i} = V;</math>
@@ Строка 11: / Строка 7: @@
 X_{i}</math>и  <math>w \in X_{i}</math>
-) для всех <math>i, j, k \in I</math> таких, что <math>j</math> лежит на пути в <math>T</math> из <math>i</math>
+) для всех <math>i, j, k \in I</math> таких, что <math>j</math> лежит на [[путь|пути]] в <math>T</math> из <math>i</math> в <math>k</math>, справедливо включение  <math>X_{i} \cap X_{k} \subseteq X_{j}</math>.
-в <math>k</math>, справедливо включение  <math>X_{i} \cap X_{k} \subseteq X_{j}</math>.
-''Шириной'' древесной декомпозиции называется <math>\max_{i \in
+''Шириной'' древесной декомпозиции называется <math>\max_{i \in I} |X_{i}| - 1</math>. ''Древесная ширина'' графа <math>G</math> определяется как наименьшая ширина древесной декомпозиции <math>G</math> и обозначается <math>tw(G)</math>. В частности, если в этом определении рассматривать не [[дерево|деревья]], а пути (точнее, [[цепь|цепи]]), то получим определение ''[[путевая ширина|путевой ширины]]'' <math>pw(G)</math>.Так как всякий путь есть дерево, то имеет  место неравенство
-I} |X_{i}| - 1</math>. ''Древесная ширина'' графа <math>G</math> определяется как
-наименьшая ширина древесной декомпозиции <math>G</math> и обозначается <math>tw(G)</math>. В
-частности, если в этом определении рассматривать не деревья, а пути
-(точнее, цепи), то получим определение ''путевой ширины'' <math>pw(G)</math>.
-Так как всякий путь есть дерево, то имеет  место неравенство
 <math>tw(G) \leq pw(G).</math>
-Древесная ширина (и соответственно путевая ширина)
+Древесная ширина (и соответственно путевая ширина) графа <math>G</math> связана с [[клика|кликовым]] числом <math>\omega(G)</math> наименьшего [[хордальный граф|хордального]] (соответственно [[интервальный граф|интервального]]) графа, в который рассматриваемый граф <math>G</math> может быть вложен, следующим образом:
-графа <math>G</math> связана с кликовым числом <math>\omega(G)</math>
-наименьшего хордального (соответственно интервального) графа, в
-который рассматриваемый граф <math>G</math> может быть вложен, следующим образом:
-<math>tw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть хордальный граф и } G
+<math>tw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть хордальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>;
-\subseteq H\} - 1</math>;
-<math>pw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть интервальный граф и } G
+<math>pw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть интервальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>.
-\subseteq H\} - 1</math>.
-Графы с древесной шириной <math>k</math> известны также как частичные
+Графы с древесной шириной <math>k</math> известны также как частичные [[k-Дерево|<math>k</math>-деревья]].
-<math>k</math>-деревья.
 ==Литература==
 [WG'94]

Древесная ширина графа: различия между версиями

Версия от 16:50, 15 октября 2009

Литература

Навигация

Поиск