4.3.4 Упражнения

1. Дано целое число $n>1$. Вычислить

(1) $3^n$,
(2) $n!$,
(3) $n^n$,
(4) $(1 + \frac{1}{1^2})(2 + \frac{1}{2^2} \ldots (n + \frac{1}{n^2})$,
(5) $\frac{1}{\sin 1} + \frac{1}{ \sin 1 + \sin 2} + \ldots +\frac{1}{ \sin 1 + \ldots + \sin n},$
(6) $\frac{\cos 1}{\sin 1} + \frac{\cos 1 + \cos 2}{\sin 1 + \sin 2} +\ldots + \frac{\cos 1 + \ldots + \cos n}{\sin 1 + \ldots + \sinn},$
(7) $1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n$ для нечетного n и$2\cdot4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n$ для четного $n,$
(8) $1/2 \cdot 3/4 \cdot 5/6 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n}$ для четного n и $1/1 \cdot 3/2 \cdot 5/4 \cdot \ldots \cdot \frac {n}{n-1}$ для нечетного $n,$
(9) $1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \ldots\pm \frac {1}{n^2},$
(10) $1 + \frac {1}{2!} + \frac {1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots+ \frac{1}{n!},$
(11) $\sqrt{n + \sqrt{(n-1) + \ldots + \sqrt{2 + \sqrt{1}}}},$
(12) $\sqrt{3 + \sqrt {6 + \ldots + \sqrt{3(n-1) +\sqrt{3n}}}},$
(13) $\frac{1}{2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\stackrel{\ldots}{2(n-1) + \frac{1}{2n}}}}}.$

2. Даны целое число n и вещественное число х. Вычислить

(1) $((\ldots ((х+1)^2 +2)^2 +\ldots + (n -2))^2 + (n -1))^2+ n)^2$,
(2) $\cos x + \cos^2x +\ldots + \cos^n x$,
(3) $\cos x + \cos x^2 +\ldots + \cos x^n$,
(4) $\cos x + \cos \cos x + \ldots + \cos \cos \ldots \cos x$,
(5) $\frac{1}{xx} + \frac{1}{x(x+1)} + \ldots + \frac{1}{x(x+1) \ldots(x+n)}$,
(6) $\frac{x^{n^2}}{2^n}$,
(7) $\frac{x^{n^3}}{3^n}$,
(8) $x^n$,
(9) $\frac{1}{x^2 + \frac{2}{x^2 + \frac {4}{x^2 + \frac{8}{\stackrel{\ldots}{x^2 + \frac{2n}{x^2}}}}}},$

(10) $\frac{(x-2)(x-4)(x-8) \ldots (x-2n)}{(x-1)(x-3)(x-7) \ldots(x-(2n-1))},$
(11) $(x^2 + \frac{x^3 + 1^2}{1!})(x^2 + \frac{x^3+2^2}{2!}) +(x^2 + \frac{x^3 + 3^2}{3!}) \ldots (x^2 + \frac{x^3 + n^2}{n!})$,
(12) $\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{1!2!} + \frac{x^3}{1!2!3!} + \ldots+ \frac{x^n}{1!2!3!\ldots n!}$.

3. Дано натуральное число $n$. Определить

(1) количество цифр в числе $n$,
(2) сумму квадратов цифр числа $n$,
(3) первую четную цифру в изображении числа $n$,
(4) все меньшие $n$ простые числа,
(5) есть ли среди чисел $n$, $n$+1,$\ldots$, 2$n$ такие, запись которых совпадает с последними цифрами записи их квадрата (как, например, 6$^2$ = 36, 25$^2$ = 625 и т.д.),
(6) наименьшее число Армстронга, принадлежащее интервалу [1,$n$]. (Натуральное число из $n$ цифр является числом Армстронга, если сумма его цифр, возведенных в $n$-ю степень, равна самому числу, как, например, 153 = 1$^3$ + 5$^3$ + 3$^3$),
(7) можно ли его преобразовать в число 1, повторяя не более $n$ раз следующие действия: если число четно, то разделить его на 2, иначе умножить число на 3 и прибавить 1,
(8) в порядке возрастания $n$ первых натуральных чисел, которые не делятся ни на какие простые числа кроме 2, 3 и 5,
(9) последовательность последних $n$ десятичных цифр числа $100! + 2^{100}$,
(10) двоичное представление числа $n$, т.е. такую последовательность $a_0,a_1,\ldots,a_k$ нулей и единиц, что $n = a_k \cdot 2^k + \ldots + a_1 \cdot 2 + a_0$ и $a_k \ne 0$,
(11) последовательность $a_0,a_1,\ldots,a_k$, каждый член которой равен -1, 0 или 1, такую, что
$n = a_k \cdot 3^k + \ldots + a_1 \cdot 3 + a_0$ и $a_k \ne 0$.
(12) такое натуральное число m, что запись числа $n$ получается из записи m изменением порядка цифр на обратный,
(13) сколько раз каждая цифра встречается в записи числа $n$.

4. Даны натуральное число $n$ и положительные вещественные числа $a, x, e$. Найти $n$ первых таких членов $y_k$, для которых $\mid y_k - y_{k-1} \mid < e$, в последовательности $y_0, y_1,\ldots,y_i,\ldots$, образованной по следующим правилам:

5. Дано натуральное n. Вычислить $n$-е элементы последовательностей $u_1,u_2,\ldots,u_n$ и $v_1, v_2,\ldots,v_n$, построенных по следующим правилам:

 

© В.Н. Касьянов, Е.В.Касьянова, 2004