Сортировка перестановок со знаками при помощи обращений (последовательность обращений): различия между версиями

''Подписанная перестановка'' <math>\pi</math> размера n представляет собой перестановку над множеством {-n, ... , -1, 1, ..., n}, где <math>\pi_{- i} = - \pi_i</math> для всех i.

Пусть <math>\rho_1, ..., \rho_k</math> – последовательность обращений. Она ''сортирует'' перестановку <math>\pi</math>, если <math>\pi \cdot \rho_1 \cdot \cdot \cdot \rho_k = Id</math>, где Id = (1, ..., n) – тождественная перестановка. Длина кратчайшей последовательности обращений при сортировке <math>\pi</math> называется ''расстоянием обращения'' <math>\pi</math> и обозначается как <math>d(\pi)</math>.

Если вычисление <math>d(\pi)</math> производится за линейное время [2] (см. статью «[[Сортировка подписанных перестановок при помощи обращений (расстояние обращения)|Расстояние обращений]]»), то вычисление последовательности размера <math>d(\pi)</math>, выполняющей сортировку <math>\pi</math>, является более сложным, и для него пока не разработано линейных алгоритмов. Наилучшие параметры сложности на данный момент демонстрирует решение Танье и Сагот [17], которое было теоретически улучшено в работах Танье, Бержерон и Сагот [18] и Хана [8].

Вторая часть представляет собой «узкое место» всей процедуры. На этот момент неориентированных компонентов уже не осталось, расстояние составляет <math>d(\pi) = n + 1 - c(\pi)</math>, так что безопасным обращением будет являться такое, которое увеличивает <math>c(\pi)</math> и не создает неориентированных компонентов (это увеличило бы <math>t(\pi)</math>).

Обращение, увеличивающее <math>t(\pi)</math>, называется ''ориентированным''. Найти ориентированное обращение несложно: его определяют любые два последовательных числа в перестановке, имеющих разные знаки. Гораздо сложнее убедиться в том, что это действие не увеличивает число неориентированных компонентов.

Алгоритм основан на следующей теореме, приведенной в работе [18]. Последовательность ориентированных обращений <math>\rho_1, ..., \rho_k</math> называется ''максимальной'', если не существует ориентированного обращения в <math>\pi \cdot \rho_1 \cdot \cdot \cdot \rho_k</math>. В частности, последовательность сортировки является максимальной, в то же время обратное неверно.

'''Теорема 1. Если последовательность S является максимальной, но не является последовательностью сортировки ориентированных обращений для перестановки, то существует непустая последовательность S' ориентированных обращений, такая, что S может быть разбита на две части <math>S = S_1, S_2</math>, и <math>S_1, S', S_2</math> является последовательностью ориентированных обращений.'''

Это позволяет строить последовательности ориентированных обращений вместо безопасных обращений и увеличивать их размер за счет добавления обращений внутрь последовательности, а не в ее конец, получая последовательность сортировки.

'''Пространство оптимальных решений'''

Основной мотивацией и основной областью применения для этих исследований является вычислительная биология. Подписанные перестановки оказались адекватным способом моделирования относительного положения и ориентации гомологичных участков ДНК двух особей. Обобщение этой задачи до мультихромосомных моделей было разработано и применено для геномов млекопитающих [15], свидетельствуя в пользу эволюционной модели, в которой обращения встречаются не случайным образом.

Обобщения этого подхода для сравнения более чем двух геномов широко рассматривались в литературе и применялись для реконструкции эволюционных событий и организации геномов общих предков биологических видов, а также для вывода ортологичных генов на основе их позиций; они основаны на эвристических принципах, базирующихся на теории сортировки подписанных перестановок при помощи обращений [12, 13].

Название GRAPPA расшифровывается как «Genome Rearrangements Analysis under Parsimony and other Phylogenetic Algorithms» (Анализ перестройки генома при помощи подхода на базе максимальной экономичности и других филогенетических алгоритмов). Алгоритм включает вычисление расстояний и способен находить все безопасные обращения за один шаг. Он был разработано группой Морета.

Созданная Дикманном программа выполняет поиск сценария обращений с дополнительными ограничениями для подписанных перестановок, реализуя алгоритм Танье и Сагот [17].

Программа, разработанная Марилией Брагой для обработки перестановок и, в частности, для сортировки подписанных перестановок при помощи обращений, а также для выдачи сжатого представления всех оптимальных последовательностей перестановок, является реализацией алгоритма из работы [6].

[[Сортировка подписанных перестановок при помощи обращений (расстояние обращения)]]