Применение геометрических остовных сетей: различия между версиями

Эта структура данных также может быть применена к некоторым другим задачам, среди которых можно упомянуть (1) задачу нахождения приближенного ответа на запросы о расстоянии между вершинами в планарной многоугольной области с «скругленными» препятствиями, (2) варианты запросов о нахождении пар ''ближайших точек'' и (3) эффективное вычисление приближенной протяженности геометрических графов.

'''Теорема 4. Пусть t > 1 и <math>\varepsilon > 0 \;</math> – вещественные константы. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>, а G = (S, E) – t-остов для S, имеющий m ребер. Граф G за время O(m + nlog n) может быть преобразован в структуру данных размера O(n log n), такую, что для любых двух точек p и q в S возможно вычислить за время O(1) <math>(1 + \varepsilon) \; </math>-аппроксимацию расстояния по кратчайшему пути в G между p и q. Отметит, что все O-нотации скрывают константы, зависящие от d, t и <math>\varepsilon \;</math>.'''

'''Теорема 8. Пусть G = (S, E) – геометрический граф с n точек и m ребер, такой, что он является t-остовом S для некоторой константы t > 1. Граф G за время O(m + nlog n) может быть преобразован в структуру данных размера O(n log n), такую, что для двух непересекающихся подмножеств запроса X и Y множества S возможно вычислить за время O((|X| + |Y|)log(|X| + |Y|)) <math>(1 + \varepsilon) \; </math>-аппроксимацию бихроматической пары ближайших точек (расстояния измеряются по G).'''

'''Теорема 9. Пусть даны – геометрический граф с n точек и m ребер и константа C, являющаяся верхней границей протяженности t графа G. Тогда за время O(m + nlog n) возможно вычислить <math>(1 + \varepsilon) \; </math>-аппроксимацию t.'''

*' [[Алгоритм поиска кратчайших путей в разреженных графах]]

*' [[Алгоритм поиска кратчайших путей при помощи матричного произведения]]

*' [[Геометрические остовы]]

*' [[Планарные геометрические остовы]]

*' [[Разреженные остовы графов]]

*' [[Синхронизаторы, остовы]]