Приближенные решения для биматричного равновесия Нэша: различия между версиями

В работе Альтхофера [1] показано, что для любого вектора вероятности p существует вектор вероятности p с логарифмической поддержкой, так что для фиксированной матрицы C maxj |pTCej –  TCej| ≤ <math>\epsilon \, </math> для любой константы <math>\epsilon \, </math> > 0. Используя этот факт, Липтон, Маркакис и Мета [13] показали, что для любой биматричной игры и для любой константы <math>\epsilon \, </math> > 0 существует <math>\epsilon \, </math>-равновесие Нэша с только логарифмической поддержкой (от числа доступных чистых стратегий n). Рассмотрим биматричную игру Г = A, B. Пусть let (x, y) – равновесие Нэша для Г. Зафиксируем положительное число k и сформируем мультимножество S1, выполнив выборку k раз из множества чистых стратегий игрока по строкам независимым случайным образом в соотвествии с распределением x. Сформируем подобным же образом мультимножество S2, выполнив выборку k раз из множества чистых стратегий игрока по столбцам в соответствии с распределением y. Пусть  – смешанная стратегия для игрока по строкам, которая назначает вероятность 1/k каждому члену S1 и 0 – всем остальным чистым стратегиям, а  – смешанная стратегия для игрока по столбцам, которая назначает вероятность 1/k каждому члену S2 и 0 – всем остальным чистым стратегиям. Тогда x и у называются k-однородными [13], и для них выполняется

Теорема 1 ([13]) Для любого равновесия Нэша (x, y) биматричной игры с матрциами n х n и для любого <math>\epsilon \, </math> > 0 существует, для каждого k  (12 ln n)/<math>\epsilon \, </math>2, пара k-однородных стратегий  , , таких, что ( , ) представляет собой <math>\epsilon \, </math>-равновесие Нэша.

Теория некооперативных игр и основное понятие для их решения – равновесие Нэша – широко использовались для понимания феноменов, наблюдаемых при взаимодействии лиц, принимающих решения, и применялись во множестве различных научных областей в таких сферах, как биология, экономика, социология и искусственный интеллект. Однако, поскольку вычисление рановесия Нэша в общем случае является PPAD-полной задачей, важное значение имеет создание эффективных алгоритмов для нахождения приближенного равновесия; изложенные выше алгоритмы представляют собой первые шаги на этом пути.