Аноним

Преобразование Барроуза-Уилера: различия между версиями

Материал из WEGA

Преобразование Барроуза-Уилера (посмотреть исходный код)

Версия от 19:38, 2 февраля 2017

20 024 байта добавлено ,  2 февраля 2017
м
→‎Ссылка на код
 
(не показана 31 промежуточная версия этого же участника)
Строка 6: Строка 6:




До публикации преобразования Барроуза-Уилера в области сжатия данных без потерь доминировали два подхода (см. исчерпывающий обзор в работах [1, 15]). Первый подход был предложен в революционных работах Шеннона и Хаффмана и основан на идее использования более коротких кодовых слов для самых часто встречающихся символов. Идея этого подхода была основана на технике Хаффмана и алгоритме арифметического кодирования Arithmetic Coding, а в более поздний период – и на семействе алгоритмов сжатия PPM (Prediction by Partial Matching, прогнозирование по частичному совпадению). Второй подход был предложен в работах Лемпеля и Зива и основан на идее адаптивного построения словаря и представления входной строки в виде конкатенации словарных слов. Лучшие известные алгоритмы сжатия, основанные на этом подходе, составляют так называемое семейство ZIP; они давно уже являются стандартом и доступны практически на всех вычислительных платформах (в их числе gzip, zip, winzip и многие другие).
До публикации преобразования Барроуза-Уилера в области сжатия данных без потерь доминировали два подхода (см. исчерпывающий обзор в работах [1, 15]). Первый подход был предложен в революционных работах Шеннона и Хаффмана и основан на идее использования более коротких кодовых слов для самых часто встречающихся символов. Идея этого подхода была основана на технике Хаффмана и алгоритме арифметического кодирования, а в более поздний период – и на семействе алгоритмов сжатия PPM (Prediction by Partial Matching, прогнозирование по частичному совпадению). Второй подход был предложен в работах Лемпеля и Зива и основан на идее адаптивного построения словаря и представления входной строки в виде конкатенации словарных слов. Лучшие известные алгоритмы сжатия, основанные на этом подходе, составляют так называемое семейство ZIP; они давно уже являются стандартом и доступны практически на всех вычислительных платформах (в их числе gzip, zip, winzip и многие другие).




Преобразование Барроуза-Уилера воплощает совершенно иной подход к сжатию данных без потерь,основанный на идее преобразования входных данных, чтобы их сжатие стало проще. По словам авторов, «(эта) техника [..] заключается в применении обратимого преобразования к текстовому блоку, чтобы сделать избыточность входных данных более доступной для обработки простыми схемами кодирования» [3, раздел 7]. Эта техника не только позволила разработать самые современные алгоритмы сжатия, но и ввела понятие сжатых индексов [14] и была успешно расширена для сжатия (и индексирования) структурированных данных – таких как XML-файлы [ ] и таблицы [16].
Преобразование Барроуза-Уилера воплощает совершенно иной подход к сжатию данных без потерь,основанный на идее ''преобразования'' входных данных для того, чтобы их сжатие стало проще. По словам авторов, «(эта) техника [..] заключается в применении обратимого преобразования к текстовому блоку, чтобы сделать избыточность входных данных более доступной для обработки простыми схемами кодирования» [3, раздел 7]. Эта техника не только позволила разработать самые современные алгоритмы сжатия, но и ввела понятие сжатых индексов [14] и была успешно расширена для сжатия (и индексирования) структурированных данных – таких как XML-файлы [7] и таблицы [16].


== Основные результаты ==
== Основные результаты ==
'''Нотация'''
'''Нотация'''


Пусть s – строка длины n, состоящая из символов алфавита £. Для i = 0, ... , n-1 обозначим за[i] i-й символ строки s, а за s[i, n-1] – суффикс строки s, начинающийся с позиции i (т.е. начинающийся с символа s[i]). Если даны две строки, s и t, выражение s -< t будет обозначать, что s лексикографически предшествует t.
Пусть s – строка длины n, состоящая из символов алфавита <math>\Sigma \;</math>. Для i = 0, ... , n - 1 обозначим за s[i] i-й символ строки s, а за s[i, n - 1] – суффикс строки s, начинающийся с позиции i (т.е. начинающийся с символа s[i]). Если даны две строки, s и t, выражение <math>s \prec t \;</math> будет обозначать, что s лексикографически предшествует t.




'''Преобразование Барроуза-Уилера'''
'''Преобразование Барроуза-Уилера'''


В работе [3] Барроуз и Уилер предложили новый алгоритм сжатия, основанный на обратимом преобразовании, которое ныне называется преобразованием Барроуза-Уилера (bwt). Пусть имеется строка s. Вычисление значения bwt(s) состоит из трех основных этапов см. рис. 1):
В работе [3] Барроуз и Уилер предложили новый алгоритм сжатия, основанный на обратимом преобразовании, которое ныне называется преобразованием Барроуза-Уилера (bwt). Пусть имеется строка s. Вычисление значения bwt(s) состоит из трех основных этапов (см. рис. 1):


1. добавить в концу строки s специальный символ $, который меньше любого другого символа в S;
1. добавить к концу строки s специальный символ $, который меньше любого другого символа в <math>\Sigma \;</math>;


2. сформировать концептуальную матрицу M, строки которой содержат круговые сдвиги строки s$, отсортированные в лексикографическом порядке;
2. сформировать ''концептуальную'' матрицу <math>\mathcal{M} \;</math>, строки которой содержат циклические сдвиги строки s$, отсортированные в лексикографическом порядке;


3. построить преобразованные текст J = bwt(s), взяв последний столбец матрицы M.
3. построить преобразованный текст <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math>, взяв последний столбец матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>.




Заметим, что каждый столбец матрицы M – и, следовательно, преобразованный текст s – представляет собой перестановку строки s$. В нашем примере F, первый столбец bwt-матрицы M, состоит из всех символов s, отсортированных по алфавиту. На рис. 1 F = $iiiimppssss.
Заметим, что каждый столбец матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> – и, следовательно, преобразованный текст <math>\hat{s} \;</math> – представляет собой перестановку строки s$. В нашем примере F, первый столбец bwt-матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, состоит из всех символов s, отсортированных по алфавиту. На рис. 1 F = $iiiimppssss.


 
{| class="wikitable"
mississippi$ $ mississipp i
|mississippi$
ississippi$m i $mississip P
|
ssissippi$mi i ppi$missis s
|$
sissippi$mis i ssippi$mis s
|mississipp
issippi$miss i ssissippi$ m
|i
ssippi$missi m —^ ississippi $
|-
sippi$missis P i$mississi P
|ississippi$m
ippi$mississ P pi$mississ i
|
ppi$mississi s ippi$missi s
|i
pi$mississip s issippi$mi s
|$mississip
i$mississipp s sippi$miss i
|p
$mississippi s sissippi$m i
|-
|ssissippi$mi
Рисунок 1
|
 
|i
Пример преобразования Барроуза-Уилера для строки s=mississippi. Матрица в правой части состоит из строк, отсортированных в лексикографическом порядке. Выходным значением алгоритма bwt является последний столбец отсортированной матрицы; в нашем примере это s = bwt(s) = ipssm$pissii
|ppi$missis
|s
|-
|sissippi$mis
|
|i
|ssippi$mis
|s
|-
|issippi$miss
|
|i
|ssissippi$
|m
|-
|ssippi$missi
| <math>\Longrightarrow</math>
|m
|ississippi
|$
|-
|sippi$missis
|
|p
|i$mississi
|p
|-
|ippi$mississ
|
|p
|pi$mississ
|i
|-
|ppi$mississi
|
|s
|ippi$missi
|s
|-
|pi$mississip
|
|s
|issippi$mi
|s
|-
|i$mississipp
|
|s
|sippi$miss
|i
|-
|$mississippi
|
|s
|sissippi$m
|i
|-
|}
Рисунок 1. Пример преобразования Барроуза-Уилера для строки s=mississippi. Матрица в правой части состоит из строк, отсортированных в лексикографическом порядке. Выходным значением алгоритма bwt является последний столбец отсортированной матрицы; в нашем примере это <math>\hat{s} = bwt(s) = ipssm$pissii \;</math>.




Строка 52: Строка 111:




'''Определение 1.''' Для 1 < i < n обозначим за s[ki, n-1] суффикс строки s, являющейся префиксом строки i матрицы M, и определим ^(i) как индекс строки, которой предшествует префикс s[ki + 1, n - 1].
'''Определение 1.''' Для <math>1 \le i \le n \;</math> обозначим за <math>s[k_i, n - 1] \;</math> суффикс строки s, являющийся префиксом строки i матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, и определим <math>\Psi(i) \;</math> как индекс строки, которой предшествует префикс <math>s[k_{i + 1}, n - 1] \;</math>.
 


Например, на рис. 1 это будет "^(2) = 7, поскольку строка 2 матрицы M имеет префикс ippi, а строка 7 – ppi. Отметим, что ^(i) не определено для  i = 0, поскольку у строки 0 не имеется надлежащего суффикса s.1


Например, на рис. 1 <math>\Psi(2) = 7 \;</math>, так как строка 2 матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> имеет префикс ippi, а строка 7 – ppi. Отметим, что <math>\Psi(i) \;</math> не определено для  i = 0, поскольку у строки 0 не имеется надлежащего суффикса s. ''[В работе [3] вместо <math>\Psi \;</math> авторы используют отображение, в сущности, являющееся обращением <math>\Psi \;</math>. Использование <math>\Psi \;</math> было предложено в литературе, посвященной сжатым индексам, где <math>\Psi \;</math> и его обращение играют важную роль (см. [14]).]''


'''Лемма 1. Для i = 1, ... , n имеет место F[i] = s[W(i)].'''


Доказательство. Поскольку каждая строка содержит циклический сдвиг строки s$, последним символом строки, префиксом которой является s[ki + 1, n - 1], является s[ki]. Из этого, согласно определению 1, следует s[&(i)] = s[ki] = F[i], что и требовалось доказать. □
'''Лемма 1. Для i = 1, ... , n имеет место <math>F[i] = \hat{s}[ \Psi(i)] \;</math>.'''


Доказательство. Поскольку каждая строка содержит циклический сдвиг строки s$, последним символом строки, префиксом которой является <math>s[k_i + 1, n - 1] \;</math>, является <math>s[k_i] \;</math>. Из этого, согласно определению 1, следует <math>\hat{s} [\Psi(i)] = s[k_i] = F[i] \;</math>, что и требовалось доказать. □


'''Лемма 2. Если 1 < i < j < n и F[i] = F[j], то'''


Доказательство. Пусть s[ki, n - 1]  (соответственно, s[kj, n - 1]) обозначает суффикс s, являющийся перфиксом строки i (строки j, соответственно). Из гипотезы i < j следует, что s[ki, n - 1] -< s[kj,  n - 1]. Из гипотезы F[i] = F[j] следует, что s[ki] = s[kj], поскольку должно иметь место s[ki + 1, n - 1] -< s[kj + 1, n - 1]. Из этого следует утверждение леммы, поскольку по построению ^(i) (&(j), соответственно) является лексикографической позицией строки, префиксом которой является s[ki + 1, n - 1] (s[kj + 1, n - 1], соответственно). □
'''Лемма 2. Если <math>1 \le i < j \le n \;</math> и F[i] = F[j], то <math>\Psi(i) < \Psi(j) \;</math>.'''


Доказательство. Пусть <math>s[k_i, n - 1] \;</math> (соответственно, <math>s[k_j, n - 1]) \;</math> обозначает суффикс s, являющийся префиксом строки i (строки j, соответственно). Из гипотезы i < j следует, что <math>s[k_i, n - 1] \prec s[k_j,  n - 1] \;</math>. Из гипотезы F[i] = F[j] следует, что <math>s[k_i] = s[k_j] \;</math>, поскольку должно иметь место <math>s[k_i + 1, n - 1] \prec s[k_j + 1, n - 1] \;</math>. Из этого следует утверждение леммы, поскольку по построению <math>\Psi(i) \;</math> (<math>\Psi(j) \;</math>, соответственно) является лексикографической позицией строки, префиксом которой является <math>s[k_i + 1, n - 1] \;</math> (<math>s[k_j + 1, n - 1] \;</math>, соответственно). □


'''Лемма 3. Для любого символа c 2 X1 верно: если F[j] _0 £-f/i-е вхождением c в F, то s[4^(j)] является l-м вхождением c в s.'''


Доказательство. Возьмем индекс h, такой, что h < j и F[h] = F[j] = c (случай с h > j является симметричным). Из леммы 2 следует, что <^(fc) < Ф()), а из леммы 1 – что s[W(h)] = s[W(j)] = c. Следовательно, количество символов c, предшествующих F[j] в F, совпадает с количеством символов c, предшествующих s[^(j)] в s (аналогичная ситуация имеет место для последущих символов), из чего следует справедливость формулировки леммы. □
'''Лемма 3. Для любого символа <math>c \in \Sigma \;</math> верно: если F[j] является <math>\ell</math>-м вхождением c в F, то <math>\hat{s}[\Psi (j)] \;</math> является <math>\ell</math>-м вхождением c в <math>\hat{s} \;</math>.'''


Доказательство. Возьмем индекс h, такой, что h < j и F[h] = F[j] = c (случай с h > j является симметричным). Из леммы 2 следует, что <math>\Psi(h) < \Psi(j) \;</math>, а из леммы 1 – что <math>\hat{s}[\Psi(h)] = \hat{s}[\Psi(j)] = c \;</math>. Следовательно, количество символов c, предшествующих F[j] в F, совпадает с количеством символов c, предшествующих <math>\hat{s}[\Psi(j)] \;</math> в <math>\hat{s}</math> (аналогичная ситуация имеет место для последущих символов), из чего следует справедливость формулировки леммы. □


На рис. 1 имет место Ф(2) = 7, и F[2] и s[7] занимают вторую позицию в соответствующих строках. Это свойство обычно формулируется так: соответствующим символы имеют один и тот же относительный порядок в строках F и s.


На рис. 1 имеет место <math>\Psi(2) = 7 \;</math>, и <math>F[2] \;</math> и <math>\hat{s}[7] \;</math> являются вторыми вхождениями i в соответствующих строках. Это свойство обычно формулируется так: соответствующие символы имеют ''один и тот же относительный порядок'' в строках F и <math>\hat{s}</math>.


'''Лемма 4. Для любого i значение может быть вычислено из s = bwt(s).'''


Доказательство. Получить F можно в результате простой алфавитной сортировки символов s. Затем вычислим ^(i) следующим образом: (1) положим с = F[i]; (2) вычислим £, такое, что F[i] является £-м вхождением c в F; (3) возвратим индекс l-го вхождения cms. □
'''Лемма 4. Для любого i значение <math>\Psi(i) \;</math> может быть вычислено из <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math>.'''


Доказательство. Получить F можно в результате простой алфавитной сортировки символов <math>\hat{s} \;</math>. Затем вычислим <math>\Psi(i) \;</math> следующим образом: (1) положим с = F[i]; (2) вычислим <math>\ell \;</math>, такое, что F[i] является <math>\ell</math>-м вхождением c в F; (3) возвратим индекс <math>\ell</math>-го вхождения c в <math>\hat{s} \;</math>. □


Вернемся к рис. 1. Для вычисления ^(10) достаточно положить c = F[10] = s и заметить, что F[10] является вторым вхождением s в F. Тогда достаточно локализовать индекс j второго s в s, в данном случае это j = 4. Следовательно, ^(10) = 4; префиксом строки 10 является sissippi, а строки 4 –issippi.


Вернемся к рис. 1. Для вычисления <math>\Psi(10) \;</math> достаточно положить c = F[10] = s и заметить, что F[10] является вторым вхождением s в F. Тогда достаточно локализовать индекс j второго символа "s" в <math>\hat{s} \;</math>, в данном случае это j = 4. Следовательно, <math>\Psi(10) = 4 \;</math>; префиксом строки 10 является sissippi, а строки 4 – issippi.


'''Теорема 5. Исходную строку можно восстановить из bwt(s).'''


Доказательство. Из леммы 4 следует, что столбец F и отображение 4> могут быть получены из bwt(s). Обозначим за j0 индекс специального символа $ в строке s. По построению строка j0 матрицы bwt имеет префикс s[0, n - 1], из чего следует s[0] = F[j0]. Пусть j1 = ^(/o). Согласно определению 1, префиксом строки j1 является s[1, n - 1], следовательно, s[1] = F[j1]. Продолжая аналогичные рассуждения, по индукции получаем j0)] для i = 1, ..., n - 1. □
'''Теорема 5. Исходную строку s можно восстановить из bwt(s).'''


1 В [3] вместо Ф авторы используют карту, в сущности, являющуюся инверсией 9. Использование 9 было предложено в литературе, посвященной сжатым индексам, где 9 и его обращение играют важную роль (см. [14]).
Доказательство. Из леммы 4 следует, что столбец F и отображение <math>\Psi \;</math> могут быть получены из bwt(s). Обозначим за <math>j_0 \;</math> индекс специального символа $ в строке <math>\hat{s} \;</math>. По построению строка <math>j_0 \;</math> матрицы bwt имеет префикс s[0, n - 1], из чего следует <math>s[0] = F[j_0] \;</math>. Пусть <math>j_1 = \Psi(j_0) \;</math>. Согласно определению 1, префиксом строки <math>j_1 \;</math> является s[1, n - 1], следовательно, <math>s[1] = F[j_1] \;</math>. Продолжая аналогичные рассуждения, по индукции получаем <math>s[i] = F[\Psi^i (j_0)] \;</math> для i = 1, ..., n - 1. □
   
   


Строка 97: Строка 153:




Рисунок 2
{| class="wikitable"
! Процедура sa2bwt !! Процедура bwt2psi !! Процедура psi2text
|-
| 1.    bwt[0]=s[n-1];
| 1.    for(i=0;i<=n;i++)
| 1.    k  =  j0;    i = 0;
|-
| 2.    for(i=1;i<=n;i++)
| 2.    c  =  bwt[i];
| 2.    do
|-
| 3.    if(sa[i]    ==  1)
| 3.    if(c  ==  '$')
| 3.    k  =  psi[k] ;
|-
| 4.    bwt[i]='$';
| 4.    j0  =  i;
| 4.    s[i++]  =  bwt[k];
|-
| 5.    else
| 5.    else
| while(i<n);
|-
| 6.    bwt[i]=s[sa[i]-1];
| 6.    h =  count[c]++;
|
|-
|
| 7.    psi[h]=i;
|
|}
 
 
Рисунок 2. Алгоритмы для вычисления и обращения преобразования Барроуза-Уилера. Процедура sa2bwt вычисляет bwt(s) из исходной строки s и ее суффиксного массива sa. Процедура bwt2psi принимает на вход bwt(s) и вычисляет отображение <math>\Psi \;</math>, сохраняя его в массиве psi. bwt2psi ткже сохраняет в j0 индекс строки, префиксом которой является s[0, n - 1]. bwt2psi использует дополнительный счетчик массива <math>[1, | \Sigma] | \;</math>, который изначально содержит в позиции count[i] количество вхождений в bwt(s) символов 1, ..., i - 1. Наконец, процедура psi2text восстанавливает строки при наличии bwt(s), массива psi и значения <math>j_0 \;</math>.
 
 
'''Теорема 6. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом <math>\Sigma \;</math> константного размера. Строка <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math> может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.'''
 
Доказательство. Суффиксный массив строки s можно вычислить за время O(n) с использованием O(nlog n) бит рабочего пространства при помощи, например, алгоритма из [11]. Суффиксный массив представляет собой массив целых чисел sa[1, n], такой, что для i = 1, ... , n значением s[sa[i], n - 1] является i-й суффикс s в лексикографическом порядке. Поскольку префиксом каждой строки матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> является уникальный суффикс s, за которым следует специальный символ $, суффиксный массив обеспечивает упорядочение строк в <math>\mathcal{M} \;</math>. Следовательно, bwt(s) можно вычислить из массива sa за линейное время при помощи процедуры sa2bwt на рис. 2. □
 
 
'''Теорема 7. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом <math>\Sigma \;</math> константного размера. При наличии bwt(s) строка s может быть восстановлена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.'''
 
Доказательство. Алгоритм восстановления s практически дословно воспроизводит процедуру, вкратце описанную в доказательстве теоремы 5. Единственное отличие заключается в том, что для большей эффективности все значения отображения <math>\Psi \;</math> вычисляются за один проход. Это выполняется при помощи процедуры bwt2psi на рис. 2. Вместо работы со столбцом F процедура bwt2psi использует массив count (счетчик), являющийся «компактным» представлением F. В момент начала работы процедуры для любого символа <math>c \in \Sigma \;</math> счетчик count[c] выдает индекс первой строки матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, префиксом которой является c. Например, на рис. 1 count[i] = 1, count[m] = 5 и т.д. В основном цикле for процедуры bwt2psi сканируется массив bwt, и значение count[c] увеличивается каждый раз при обнаружении вхождения символа c (строка 6). Строка 6 также присваивает переменной h индекс <math>\ell</math>-го вхождения элемента c в F. Согласно лемме 3, строка 7 корректно сохраняет в psi[h] значение <math>i = \Psi(h) \;</math>. После вычисления массива psi строка s восстанавливается при помощи процедуры psi2text на рис. 2, корректность которой непосредственно следует из теоремы 5.
 
 
Очевидно, что выполнение процедур bwt2psi и psi2text занимает время O(n). Объем рабочего пространства зависит главным образом от стоимости хранения массива psi, который занимает O(n log n) бит. □
 
 
'''Алгоритм сжатия Барроуза-Уилера'''
 
Использование процедуры bwt для сжатия данных можно обосновать следующим образом. Рассмотрим строку w, которая k раз встречается внутри строки s. В bwt-матрице s будет k последовательных строк, префиксом которых является w – скажем, строки <math>r_w + 1, r_w + 2, ... , r_w + k \;</math>. Следовательно, позиции <math>r_w + 1, ... , r_w + k \;</math> в <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math> будут содержать в точности те символы, коорые непосредственно предшествуют w в s. Если в строке s некоторые шаблоны встречаются чаще других, то для многих подстрок w соответствующие позиции <math>r_w + 1, ... , r_w + k \;</math> строки <math>\hat{s} \;</math> будут содержать только несколько различающихся символов. Например, если s – текст на английском языке, а w – строка «his», соответствующая часть <math>\hat{s} \;</math>, скорее всего,  будет содержать множество букв «t» и пустых символов и совсем немного других символов. Поскольку <math>\hat{s} \;</math> является перестановкой s, она обычно оказывается ''локально гомогенной'' в том смысле, что ее «короткие» подстроки обычно содержат только несколько различающихся символов. ''[Очевидно, что это верно в случае, если s обладает некоторой регулярностью: если строка s оказывается случайной, то и <math>\hat{s} \;</math> также будет случайной.]''
 
 
Для того чтобы использовать это свойство, Барроуз и Уилер предложили обрабатывать строку <math>\hat{s} \;</math> с использованием кодирования по модели «движение к началу» (move-to-front) [2] (процедура mtf). mtf кодирует каждый символ количеством различных символов, встретившихся с момента предыдущего вхождения этого же символа. Для этого mtf ведет список символов, упорядоченный по давности вхождения; когда встречается следующий символ, алгоритм выводит его текущий ранг и перемещает его в начало списка. Заметим, что mtf вычисляет строку, имеющую ту же длину, что и <math>\hat{s} \;</math> и в случае, если <math>\hat{s} \;</math> является локально гомогенной, строка <math>mtf(\hat{s}) \;</math> будет в основном состоять из целых чисел малой величины. ''[Если s – текст на английском языке, <math>mtf(\hat{s}) \;</math> обычно содержит более 50% нулей.]''
Учитывая это смещенное распределение, строку <math>mtf(\hat{s}) \;</math> можно легко сжать: Барроуз и Уилер  предложили проделать это при помощи алгоритма Хаффмана или арифметического кодирования – возможно, после однократного прогона на наборах одинаковых целых чисел.
 
 
Барроуз и Уилер были заинтересованы главным образом в разработке алгоритма с высокой практической эффективностью. И в самом деле, их простая версия превосходила (по критерию коэффициента сжатия) инструмент gzip, бывший в то время стандартом сжатия без потерь. Через несколько лет после публикации bwt в работах [9, 12] было показано, что коэффициент сжатия алгоритма Барроуза-Уилера может быть ограничен в терминах эмпирической энтропии k-го порядка входной строки для любого <math>k \ge 0 \;</math>. К примеру, Каплан и др. [9] показали, что для любой входной строки s и вещественного числа <math>\mu > 1 \;</math> длина сжатой строки ограничена <math>\mu \; n \; H_k (s) + n \; log(\zeta (\mu)) + \mu \; g_k + O(log \; n)</math> бит, где <math>\zeta (\mu) \;</math> – стандартная дзета-функция, а <math>g_k \;</math> – функция, зависящая только от k и от размера <math>\Sigma \;</math>. Эта граница ''поточечно'' верна для ''любой'' строки s, ''одновременно'' для любых <math>k \ge O \;</math> и <math>\mu > 1 \;</math>; и это весьма примечательно, поскольку ни для одного другого алгоритма сжатия аналогичные границы не были доказаны. Теоретическое изучение эффективности алгоритмов сжатия на базе преобразования bwt в настоящее время является областью активных исследований. Дополнительную информацию см. в списке рекомендованной литературы.
 
== Применение ==
После выхода основополагающей работы Барроуза и Уилера многие исследователи предложили собственные алгоритмы сжатия на базе bwt (см. [4, 5] и ссылки в этих статьях). Особенно интересны в теоретическом плане результаты работы [6], демонстрирующие, что преобразование bwt может быть использовано для разработки «[[Усиление_степени_сжатия_текста|усилителей сжатия]]» (или механизмов повышения степени сжатия), которые служат инструментом повышения эффективности других алгоритмов сжатия вполне определенным и измеримым образом.
 
 
Еще одной важной областью применения bwt является разработка сжатых полнотекстовых индексов [14]. Эти индексы используют взаимосвязь между bwt и суффиксным массивом для формирования сжатого представления строки, поддерживающего эффективные поиск и извлечение вхождений произвольных шаблонов.
 
== Открытые вопросы ==
Помимо исследования эффективности алгоритмов сжатия на базе bwt, открытым остается весьма важный с практической точки зрения вопрос об эффективности использования памяти при выполнении bwt. Пусть дана строка s длины n над алфавитом <math>\Sigma \;</math>; s и <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math> требуют <math>O(n \; log \; | \Sigma |)</math> бит. К сожалению, алгоритмы с линейным временем выполнения, представленные на рис. 2, используют дополнительные массивы (sa и psi), для хранения которых требуется <math>\Theta (n \; log \; n)</math> бит. Это налагает серьезные ограничения на размер самой большой матрицы bwt, которую можно вычислить в оперативной памяти. Алгоритмы обращения bwt, эфективно использующие память, были предложены в литературе, посвященной индексации сжатого текста [14], однако задача эффективного использования времени и памяти преобразованием bwt по-прежнему остается нерешенной, хотя для нее были получены обнадеживающие предварительные результаты [8, 10, 13].
 
== Экспериментальные результаты ==
Экспериментальное исследование нескольких алгоритмов сжатия, основанных на преобразовании bwt, и сравнение их с другими современными способами сжатия приведено в работе [4].
 
== Наборы данных ==
Наборы данных, использовавшиеся в [4], доступны по адресу http://www.mfn.unipmn.it/~manzini/boosting. Другие наборы данных для сжатия и индексации сжатого текста можно найти на сайте Pizza&Chili http://pizzachili.di.unipi.it/.
 
== Ссылка на код ==
Страница «Усиление алгоритмов сжатия» (Compression Boosting, http://www.mfn. unipmn.it/~manzini/boosting) содержит исходный код алгоритмов, протестированных в работе [4]. «Облегченный» код для вычисления преобразования bwt и его обращения (без сжатия) доступен по адресу http://www.mfn.unipmn.it/~manzini/lightweight. Код bzip2 доступен по адресу http://www.bzip.org.
 
== См. также ==
* [[Арифметическое кодирование для сжатия данных]]
* [[Усиление степени сжатия текста]]
* [[Сжатый суффиксный массив]]
* [[Индексация сжатого текста]]
* [[Построение суффиксного массива]]
* [[Сжатие таблиц]]
* [[Сжатие и индексирование дерева]]
 
== Литература ==
1. Bell, T.C., Cleary, J.G., Witten, I.H.: Text compression. Prentice Hall, NJ (1990)
 
2. Bentley, J., Sleator, D., Tarjan, R., Wei, V.: A locally adaptive compression scheme. Commun. ACM 29, 320-330 (1986)
 
3. Burrows, M., Wheeler, D.: A block sorting lossless data compression algorithm. Tech. Report 124, Digital Equipment Corporation (1994)
 
4. Ferragina, P., Giancarlo, R., Manzini, G.: The engineering of a compression boosting library: Theory vs practice in bwt compression. In: Proc. 14th European Symposium on Algorithms (ESA). LNCS, vol. 4168, pp. 756-767. Springer, Berlin (2006)
 
5. Ferragina, P., Giancarlo, R., Manzini, G.: The myriad virtues of wavelet trees. In: Proc. 33th International Colloquium on Automata and Languages (ICALP), pp. 561-572. LNCS n. 4051. Springer, Berlin, Heidelberg (2006)
 
6. Ferragina, P., Giancarlo, R., Manzini, G., Sciortino, M.: Boosting textual compression in optimal linear time. J. ACM 52, 688-713(2005)
 
7. Ferragina, P., Luccio, F., Manzini, G., Muthukrishnan, S.: Structuring labeled trees for optimal succinctness, and beyond. In: Proc. 46th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 184-193, Pittsburgh, PA (2005)
 
8. Hon, W., Sadakane, K., Sung, W.: Breaking a time-and-space barrier in constructing full-text indices. In: Proc. of the 44th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS),251-260, Cambridge, MA (2003)
 
9. Kaplan, H., Landau, S., Verbin, E.: A simpler analysis of Burrows-Wheeler-based compression. Theoretical Computer Science 387(3): 220-235 (2007)
 
10. Karkkainen, J.: Fast BWT in small space by blockwise suffix sorting. Theoretical Computer Science 387(3): 249-257 (2007)
 
11. Karkkainen, J., Sanders, P., Burkhardt, S.: Linear work suffix array construction. J. ACM 53(6), 918-936 (2006)
 
12. Manzini, G.: An analysis of the Burrows-Wheeler transform. J. ACM 48, 407-430(2001)
 
13. Na, J.: Linear-time construction of compressed suffix arrays using o(nlogn)-bit working space for large alphabets. In: Proc. 16th Symposium on Combinatorial Pattern Matching (CPM). LNCS, vol. 3537, pp. 57-67. Springer, Berlin (2005)


Алгоритмы для вычисления и обращения преобразования Барроуза-Уилера. Процедура sa2bwt вычисляет bwt(s) для исходной строки s и ее суффиксный массив sa. Процедура bwt2psi принимает на вход bwt(s) и вычисляет отображение (?, сохраняя его в массиве psi. bwt2psi ткже сохраняет в j0 индекс строки, префиксом которой является s[0, n - 1]. bwt2psi использует дополнительный счетчик массива  [1, |27|], который изначально содержит в позиции count [i] количество вхождений в bwt(s) символов 1, ..., i - 1. Наконец, процедура psi2text восстанавливает строки при наличии bwt(s), массива psi и значения j0
14. Navarro, G., Makinen, V.: Compressed full text indexes. ACM Comput. Surv.39(1)(2007)


15. Salomon, D.: Data Compression: the Complete Reference, 3rd edn. Springer, New York (2004)


'''Теорема 6. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом S константного размера. Строка s = bwt(s) может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.'''
16. Vo, B.D., Vo, K.P.: Using column dependency to compress tables. In: Proc. of IEEE Data Compression Conference (DCC), pp. 92-101, IEEE Computer Society Press (2004)
Irina
4430

правок

Источник — http://pco.iis.nsk.su/wega/index.php/Служебная:Сравнение_версий/12185...12235