Последовательное точное сравнение строк: различия между версиями

Пусть даны ''строка шаблона'' <math>P = p_1 p_2 ... p_m</math> и ''текстовая строка'' <math>T = t_1 t_2 ... t_n</math>, представляющие собой последовательности над алфавитом <math>\Sigma</math> размера <math>\sigma</math>. Задача ''точного сравнения строк'' (exact string matching, ESM) заключается в нахождении одной или, в общем случае, всех текстовых позиций, в которых P входит в T; иначе говоря, в вычислении множества <math> \{ j | 1 \le j \le n - m + 1, P = t_j t_{j + 1} ... t_{j + m - 1} \} </math>. Предполагается, что шаблон задается в самом начале, после чего производится поиск его вхождения в нескольких текстах.

Прямолинейный алгоритм решения задачи ESM выполняет проверку вхождения P на каждой позиции j строки T, где <math>1 \le j \le n - m + 1</math>. Ему не требуется этап предварительной обработки. Этот алгоритм требует O(mn) времени и константной дополнительной памяти и в среднем производит O(n) сравнений символов. Его можно сравнить со следующими границами.

'''Теорема 1 (Коул и др., 1995 [3]). Минимальное количество сравнений символов для решения задачи ESM в наихудшем случае оказывается больше или равно n + 9/(4m)(n - m) и может быть сделано меньше или равно n + 8/(3(m + 1))(n - m).'''

Первый линейный алгоритм решения задачи ESM появился в 1970-х. Этап предварительной обработки этого алгоритма заключался в вычислении периодов префиксов шаблона или, что эквивалентно, длине самой длинной границы для всех префиксов шаблона. Граница строки является префиксом либо суффиксом строки, отличным от нее самой. Обозначим за next[i] длину самой длинной границы в <math>p_1 ... p_{i - 1}</math>. Рассмотрим попытку сравнения в позиции j, где шаблон <math>p_1 ... p_m</math> выровнен с сегментом <math>t_j ... t_{j + m - 1}</math> текста. Предположим, что первое несовпадение (при сканировании слева направо) имеет место между символами <math>p_i</math> и <math>t_{i + j}</math> для <math>1 \le i \le m</math>. Тогда <math>p_1 ... p_{i - 1} = t_j ... t_{i + j - 1} = u</math> и <math>a = p_i \ne t_{i + j} = b</math>. При сдвиге разумно будет ожидать, что префикс v шаблона будет соответствовать некоторому суффиксу фрагмента u текста. Таким образом, после сдвига сравнение может возобновиться для позиций <math>p_{next[i]}</math> и <math>t_{i + j}</math> без потери каких-либо вхождений P в T и необходимости выполнения возврата в тексте. Существуют два подхода, различающихся в зависимости от того, должен ли <math>p_{next[i]}</math> совпадать с <math>p_i</math>.

'''Теорема 3 (Кнут, Моррис и Пратт, 1977 [11]). Текстовый поиск может быть выполнен за время O(n) с использованием памяти в размере O(m). Предварительная обработка шаблона может быть выполнена за время O(m).'''

Поиск можно осуществить с использованием реализованного детерминированного конечного автомата с поиском потомка по умолчанию <math>\mathcal{D}(P)</math>, распознающего язык <math>\Sigma^* P</math>. Размер реализации составляет O(m) и не зависит от размера алфавита в силу того, что автомат <math>\mathcal{D}(P)</math> имеет m + 1 состояний, m прямых дуг и не более m обратных дуг. Использование конечного автомата для поиска в тексте позволяет получить алгоритм с эффективной задержкой (представляющей собой максимальное время обработки символа текста).

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%BE%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D1%83%D1%80%D0%B0| Алгоритм Бойера-Мура] считается одним из самых эффективных алгоритмов решения задачи ESM. Его упрощенная версия либо весь алгоритм полностью нередко применяются в программах редактирования текстов для выполнения операций поиска и замены.