4430
правок
Остовное дерево с максимальным количеством листьев: различия между версиями
Материал из WEGA
Остовное дерево с максимальным количеством листьев (посмотреть исходный код)
Версия от 13:58, 1 октября 2023
, 1 октября 2023нет описания правки
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 43: | Строка 43: | ||
(в) Градиенты и правила преобразования для эвристик локального поиска. | (в) Градиенты и правила преобразования для эвристик локального поиска. | ||
(г) | (г) Аппроксимационные алгоритмы с полиномиальным временем выполнения и границы эффективности, доказанные систематическим образом. | ||
(д) Структура, используемая для решения других задач. | (д) Структура, используемая для решения других задач. | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
| Строка 98: | Строка 99: | ||
'''Цель (б): предварительная обработка с полиномиальным временем выполнения и подпрограммы редукции данных''' | '''Цель (б): предварительная обработка с полиномиальным временем выполнения и подпрограммы редукции данных''' | ||
Ниже приводится пример таблицы, используемой для отслеживания каждого возможного состояния границы для возможного решения. Можно привести примеры, демонстрирующие исключительно успешное каскадное применение правил редукции данных к реальным распределениям данных и описывающие разнообразие математических феноменов, относящихся к правилам редукции. Например, некоторые правила редукции – такие как правило разложения на составляющие Клейтмана-Веста для задачи ОДМЛ (рис. 2) – имеют фиксированный «размер границы» (в данном случае равный 2), тогда как правила редукции типа «корона» не имеют такового. | Ниже приводится пример таблицы, используемой для отслеживания каждого возможного состояния границы для возможного решения. Можно привести примеры, демонстрирующие исключительно успешное каскадное применение правил редукции данных к реальным распределениям данных и описывающие разнообразие математических феноменов, относящихся к правилам редукции. Например, некоторые правила редукции – такие как ''правило разложения на составляющие Клейтмана-Веста'' для задачи ОДМЛ (рис. 2) – имеют фиксированный «размер границы» (в данном случае равный 2), тогда как правила редукции типа «корона» не имеют такового. | ||
| Строка 106: | Строка 107: | ||
'''Цель (г): алгоритмы | '''Цель (г): аппроксимационные алгоритмы с полиномиальным временем выполнения''' | ||
Теория использования экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения напрямую приводит к получению алгоритма | Теория использования экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения напрямую приводит к получению аппроксимационного алгоритма ОДМЛ с константным множителем и полиномиальным временем выполнения. Вначале выполним редукцию G при помощи правил кернелизации. Правила редукции сохраняют параметры аппроксимации. Возьмем любое дерево T (не обязательно остовное) в графе G. Если выполняются все утверждения касательно структуры, тогда (согласно рассуждениям граничной леммы) дерево T должно иметь не менее n/c листьев для c = 3,75. Таким образом, восстановив T с учетом произведенной редукции, получим c-аппроксимацию. | ||
Если по меньшей мере одно утверждение касательно структуры не выполняется, то дерево T можно улучшить, опираясь на один из индуктивных приоритетов. Заметим, что каждое утверждение | Если по меньшей мере одно утверждение касательно структуры не выполняется, то дерево T можно улучшить, опираясь на один из индуктивных приоритетов. Заметим, что каждое утверждение доказывается посредством рассуждения, которое можно интерпретировать как подпрограмму улучшения T с полиномиальным временем выполнения в случае противоречия утверждению. | ||
Последовательность этих действий можно применить к исходному дереву T (и его потомкам) только полиномиальное количество раз, определяемое списком индуктивных приоритетов, до того момента, как мы получим дерево | Последовательность этих действий можно применить к исходному дереву T (и его потомкам) только полиномиальное количество раз, определяемое списком индуктивных приоритетов, до того момента, как мы получим дерево T', для которого выполняются все утверждения касательно структуры. В этот момент мы должны получить решение с c-аппроксимацией. | ||
| Строка 127: | Строка 128: | ||
Здесь используются следующие сокращения: TW – это древесная ширина дерева (TREEWIDTH), BW – ширина полосы (BANDWIDTH), VC – вершинное покрытие (VERTEX COVER), DS – доминирующее множество (DOMINATING SET), G – род (GENUS), а ML – максимальное количество листьев (MAX LEAF). Обозначение во второй строке и четвертом столбце говорит о том, существует | Здесь используются следующие сокращения: TW – это древесная ширина дерева (TREEWIDTH), BW – ширина полосы (BANDWIDTH), VC – вершинное покрытие (VERTEX COVER), DS – доминирующее множество (DOMINATING SET), G – род (GENUS), а ML – максимальное количество листьев (MAX LEAF). Обозначение во второй строке и четвертом столбце говорит о том, что существует FPT-алгоритм для решения задачи DOMINATING SET на графе G с шириной полосы не более k. Обозначение в четвертой строке и втором столбце говорит о том, что неизвестно, может ли задача BANDWIDTH быть оптимально решена FPT-алгоритмом, если параметром является граница числа доминирования входного графа. | ||
MAX LEAF применяется к последней строке таблицы. Для графов с максимальным количеством листьев, ограниченным k, максимальный размер независимого множества может быть вычислен за время <math>O^* (2,972^k) \;</math> на основе редукции ядра размером не более 7k. Использование результата решения одной задачи в качестве исходных данных для другой задачи оказывается весьма практичным. | MAX LEAF применяется к последней строке таблицы. Для графов с максимальным количеством листьев, ограниченным k, максимальный размер независимого множества может быть вычислен за время <math>O^* (2,972^k) \;</math> на основе редукции до ядра размером не более 7k. Использование результата решения одной задачи в качестве исходных данных для другой задачи оказывается весьма практичным. | ||
== Применение == | == Применение == | ||
Задача построения остовного дерева с максимальным количеством листьев применяется в расчетах компьютерной графики с целью создания представлений полосы треугольников для быстрого интерактивного рендеринга [5]. Также она находит применение в области перераспределения трафика и проектирования сетей – например, для проектирования оптических сетей и распределения используемых длин волн для снижения стоимости сети – в терминах оконечного оборудования либо электронных переключателей [6]. Задача о минимальной энергии в беспроводных сетях заключается в нахождении радиус-вектора передачи для всех станций таким образом, чтобы полная мощность излучения всей сети была насколько возможно малой. Ограниченная версия этой задачи эквивалентна задаче нахождения остовного дерева с максимальным количеством листьев [7]. Задача поиска остовных деревьев с большим числом листьев эквивалентна задаче поиска небольших связных доминирующих множеств и в связи с этим также носит название задачи о минимальном связном доминирующем множестве [13]. | Задача построения остовного дерева с максимальным количеством листьев применяется в расчетах компьютерной графики с целью создания представлений полосы треугольников для быстрого интерактивного рендеринга [5]. Также она находит применение в области перераспределения трафика и проектирования сетей – например, для проектирования оптических сетей и распределения используемых длин волн для снижения стоимости сети – в терминах оконечного оборудования либо электронных переключателей [6]. Задача о минимальной энергии в беспроводных сетях заключается в нахождении радиус-вектора передачи для всех станций таким образом, чтобы полная мощность излучения всей сети была насколько возможно малой. Ограниченная версия этой задачи эквивалентна задаче нахождения остовного дерева с максимальным количеством листьев [7]. Задача поиска остовных деревьев с большим числом листьев эквивалентна задаче поиска небольших связных доминирующих множеств и в связи с этим также носит название задачи о минимальном связном доминирующем множестве [13]. | ||
== Открытые вопросы == | == Открытые вопросы == | ||
| Строка 147: | Строка 149: | ||
'''Алгоритмические формы подхода на базе граничной леммы''' | '''Алгоритмические формы подхода на базе граничной леммы''' | ||
Из гипотезы граничной леммы о том, что (G, k) является «да-экземпляром», следует, что существует структура, являющаяся свидетелем для данного факта. Не делается предположений о том, что к этой структуре имеется алгоритмический доступ, а когда будут найдены правила редукции, они должны представлять собой преобразования, которые могут быть применены к (G, k) и структуре, которая может быть найдена в (G, k) за полиномиальное время. Иными словами, правила редукции не могут быть определены относительно структуры-свидетеля. Возможно ли описать более общие подходы к кернелизации, при которых структура-свидетель, используемая в ходе доказательства граничной леммы, может быть вычислена за полиномиальное время, и эта структура предоставит условный контекст для некоторых правил редукции? Как эти подходы изменят метод использования экстремальной структуры? | Из гипотезы граничной леммы о том, что (G, k) является «да-экземпляром», следует, что существует структура, являющаяся свидетелем для данного факта. Не делается предположений о том, что к этой структуре имеется алгоритмический доступ, а когда будут найдены правила редукции, они должны представлять собой преобразования, которые могут быть применены к (G, k) и структуре, которая может быть найдена в (G, k) за полиномиальное время. Иными словами, правила редукции не могут быть ''определены'' относительно структуры-свидетеля. Возможно ли описать более общие подходы к кернелизации, при которых структура-свидетель, используемая в ходе доказательства граничной леммы, может быть вычислена за полиномиальное время, и эта структура предоставит условный контекст для некоторых правил редукции? Как эти подходы изменят метод использования экстремальной структуры? | ||
'''Задача с аннотациями''' | '''Задача с аннотациями''' | ||
Можно рассмотреть обобщенную задачу построения остовного дерева с максимальным количеством листьев (MAX LEAF), в которой вершины и ребра имеют различные аннотации, говорящие о том, какие вершины должны быть листьями ( | Можно рассмотреть обобщенную задачу построения остовного дерева с максимальным количеством листьев (MAX LEAF), в которой вершины и ребра имеют различные аннотации, говорящие о том, какие вершины ''должны'' быть листьями (или внутренними вершинами) в решении, и т.д. В общем случае подобная обобщенная форма задачи будет сложнее вышеописанной более простой формы. Однако некоторые из «наиболее известных» FPT-алгоритмов для решения различных задач основаны на таких обобщенных формах с аннотациями. В качестве примеров можно привести алгоритмы нахождения доминирующего множества для планарного графа (PLANAR DOMINATING SET) и разрывающего множества вершин (FEEDBACK VERTEX SET) [4]. Должны ли аннотации быть непременным компонентом рецепта наилучшего возможного алгоритма кернелизации с полиномиальным временем выполнения? | ||
== См. также == | == См. также == | ||
