Остовное дерево с максимальным количеством листьев: различия между версиями

Задача построения остовного дерева с максимальным количеством листьев (ОДМЛ; MAX LEAF SPANNING TREE) заключается в нахождении [[остовное дерево|остовного дерева]], имеющего не менее k листьев, на неориентированном графе. Версия разрешимости для параметризованной задачи построения ОДМЛ выглядит следующим образом:

Вопрос: имеет ли граф G с не менее чем k листьями?

Параметризованная сложность недетерминированного полного алгоритма ОДМЛ с полиномиальным временем выполнения широко изучалась [2, 3, 9, 11] с использованием кернелизации, ветвления и других техник с фиксированными параметрами (fixed-parameter tractable, FPT). Авторы работы [8] первыми предложили метод на базе экстремальной структуры для решения сложных вычислительных задач. Этот метод, напоминающий подход Гротендика и по духу сходный с проектом миноров графов Робертсона и Сеймура, заключается в том, что математический развивается как серия небольших шагов, выполняемых по общей траектории, описываемой подходящей «математической машиной». Авторы подхода предпочитают высказывания следующего типа: Каждый связный граф с n вершинами, удовлетворяющий определенному набору свойств, имеет остовное дерево с не менее чем k листьями, и это остовное дерево можно найти за время <math>O(f(k) + n^c) \;</math>, где c – константа (независимая от k), а f - произвольная функция.

При рассмотрении параметризованной сложности значение k называется ''параметром'', который в определенном смысле отражает структуру входных данных или другой аспект цели вычисления. Например, k может обозначать количество ребер, которые необходимо удалить для получения графа без циклов; количество последовательностей ДНК, подлежащих выравниванию в задаче выравнивания последовательностей; максимальную глубину вложенности объявления типа у компилятора; <math>k = 1 / \epsilon \;</math> может обозначать параметризацию при анализе аппроксимации; кроме того, k также может быть составным значением, зависящим от нескольких переменных.

Существуют два основных способа сравнения FPT-алгоритмов, в результате чего появилось два класса FPT-задач. В классе «f(k)» задача заключается в поиске еще более медленно растущих функций от параметра f(k), управляющих сложностью FPT-алгоритмов. Класс «кернелизации» опирается на следующую лемму, утверждающую, что задача принадлежит к разряду FPT-задач в том и только том случае, если входные данные могут быть предварительно обработаны (кернелизованы) за «обычное» полиномиальное время с получением экземпляра, размер которого ограничивается только функцией от k.

Лемма 1. Параметризованная задача <math>\Pi \;</math> является задачей с фиксированными параметрами (FPT) в том и только том случае, если существует преобразование с полиномиальным временем выполнения (относительно n и k), переводящее (x, k) в (x', k,), такое, что:

В ситуации, описываемой леммой, можно сказать, что мы можем кернелизовать исходные экземпляры до экземпляров размером не более g(k). Два этих класса задач нередко бывают тесно связаны, однако результаты их выполнения различаются. Наилучший известный FPT-алгоритм задачи построения остовного дерева с максимальным количеством листьев с временем выполнения <math>O^* (8,12^k) \;</math> предложил Бонсма [1] на основе подхода на базе экстремальных структур, который разработали Эстивилл-Кастро, Феллоуз, Лэнгстон и Розамонд [8]. Этот алгоритм определяет, имеет ли граф G с n вершинами остовное дерево не менее чем с k листьями. В то же время авторы работы [8] представили FPT-алгоритм с наименьшим размером ядра.

(а) Более эффективные FPT-алгоритмы, полученные в результате применения теории более глубокой структуры, более мощных правил редукции, связанных с этой теорией, и более сильных доказательств по индукции для улучшенных границ кернелизации.

(б) Правила мощной предварительной обработки (редукции данных / кернелизации) и комбинации правил, которые могут использоваться независимо от того, насколько мал параметр, и могут комбинироваться с другими подходами – например, аппроксимацией и эвристиками. Обычно они несложны для программирования.

(г) Алгоритмы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения и границы эффективности, доказанные систематическим образом.

Задача заключается в нахождении правил предварительной обработки (кернелизации) с полиномиальным временем выполнения, где g(k) насколько возможно мало. Это будет важно впоследствии в контексте цели (б).

Если перефразировать задачу в терминах структурной теории, важнейший вопрос будет звучать следующим образом: какова структура графов, не имеющих подграфа с k листьями? Результат Клейтмана и Веста из теории графов показывает, что граф с минимальной степенью не менее 3, не включающий подграф с k листьями, имеет не более 4(k - 3) вершин. На рис. 1 показано, что это лучший возможный результат для данной гипотезы. Однако исследование структуры при помощи экстремальных методов выявляет необходимость в применении правила редукции, показанного на рис. 2. Примерно 20 различных правил редукции с полиномиальным временем выполнения (некоторые из них являются намного более сложными и «глобальными» по своей структуре, чем приведенное для примера простое локальное правило редукции) будет достаточно для кернелизации графа с минимальной степенью 2, имеющего не более 3,5k вершин.  

В общем случае экземпляр параметризованной задачи состоит из пары (x, k) и «границы», которая вычисляется посредством фиксации x и изменения k с последующим определением, какой ответ имеет [[задача разрешимости]] – «да» или «нет. Представляет интерес величина границы при редукции x. Типичная граничная лемма выглядит следующим образом.

'''Лемма 2.''' Пусть (G, k) – экземпляр задачи построения остовного дерева с максимальным количеством листьев после редукции, для которого (G, k) является «да-экземпляром», а (G, k + 1) – «нет-экземпляром». Тогда <math>|G| \le ck \;</math> (где c – небольшая константа, значение которой будет вычислено в результате решения).

Доказательство граничной леммы выполняется при помощи минимального контрпримера. Контрпримером будет служить граф, такой, что (1) (G, k) – экземпляр задачи ОДМЛ после редукции; (2) (G, k) является «да-экземпляром»; (3) (G, k + 1) является «нет-экземпляром»; (4) |G| < ck.

Доказательство граничной леммы будет производиться последовательным образом. Изначально неизвестно, при каком значении границы будет достигнут успех, а также точно неизвестно, что подразумевается под редукцией. В ходе доказательства эти аспекты станут ясны. По мере раскрытия аргументов особенности структуры подскажут формулировки новых правил редукции. При доказательстве граничной леммы необходимо будет принимать следующие стратегические решения:

(5) Определение правил редукции, выполняющихся за полиномиальное время над релевантными компонентами структуры на границе.

Общая структура аргумента вычисляется при помощи минимального контрпримера согласно приоритетам, заданным в результате выбора (3), который обычно ссылается на выбор (2). Доказательство развивается посредством серии небольших шагов, состоящих из серии утверждений по поводу структуры, которые в сумме ведут к получению детальной картины представления структур на «границе» и, следовательно, позволяют определить границу размера G, на основе которой выводится заключение леммы. Полное доказательство объединяет серию утверждений по поводу дерева-свидетеля, различных множеств вершин и индуктивных приоритетов индукции и формулирует основное неравенство, на основе которого производится доказательство по индукции, и ядро задачи размера 3,5k.

Ниже приводится пример таблицы, используемой для отслеживания каждого возможного состояния границы для возможного решения. Можно привести примеры, демонстрирующие исключительно успешное каскадное применение правил редукции данных к реальным распределениям данных и описывающие разнообразие математических феноменов, относящихся к правилам редукции. Например, некоторые правила редукции – такие как правило разложения на составляющие Клейтмана-Веста для задачи ОДМЛ (рис. 2) – имеют фиксированный «размер границы» (в данном случае равный 2), тогда как правила редукции типа «корона» не имеют такового.

'''Цель (г): алгоритмы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения'''

Теория использования экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения напрямую приводит к получению алгоритма аппроксимации ОДМЛ с константным множителем и полиномиальным временем выполнения. Вначале выполним редукцию G при помощи правил кернелизации. Правила редукции сохраняют параметры аппроксимации. Возьмем любое дерево T (не обязательно остовное) в G. Если выполняются все утверждения касательно структуры, тогда (согласно рассуждениям граничной леммы) дерево T должно иметь не менее n/c листьев для c = 3,75. Таким образом, восстановив T с учетом произведенной редукции, получим c-аппроксимацию.

Если по меньшей мере одно утверждение касательно структуры не выполняется, то дерево T можно улучшить, опираясь на один из индуктивных приоритетов. Заметим, что каждое утверждение доказано посредством рассуждения, которое можно интерпретировать как подпрограмму улучшения T с полиномиальным временем выполнения в случае противоречия утверждению.

Последовательность этих действий можно применить к исходному дереву T (и его потомкам) только полиномиальное количество раз, определяемое списком индуктивных приоритетов, до того момента, как мы получим дерево V, для которого выполняются все утверждения касательно структуры. В этот момент мы должны получить решение с c-аппроксимацией.

Здесь используются следующие сокращения: TW – это древесная ширина дерева (TREEWIDTH), BW – ширина полосы (BANDWIDTH), VC – вершинное покрытие (VERTEX COVER), DS – доминирующее множество (DOMINATING SET), G – род (GENUS), а ML – максимальное количество листьев (MAX LEAF). Обозначение во второй строке и четвертом столбце говорит о том, существует ли FPT-алгоритм для решения задачи DOMINATING SET на графе G с шириной полосы не более k. Обозначение в четвертой строке и втором столбце говорит о том, что неизвестно, может ли задача BANDWIDTH быть оптимально решена FPT-алгоритмом, если параметром является граница числа доминирования входного графа.

MAX LEAF применяется к последней строке таблицы. Для графов с максимальным количеством листьев, ограниченным k, максимальный размер независимого множества может быть вычислен за время <math>O^* (2,972^k) \;</math> на основе редукции ядра размером не более 7k. Использование результата решения одной задачи в качестве исходных данных для другой задачи оказывается весьма практичным.

Задача построения остовного дерева с максимальным количеством листьев применяется в расчетах компьютерной графики с целью создания представлений полосы треугольников для быстрого интерактивного рендеринга [ ]. Также она находит применение в области перераспределения трафика и проектирования сетей – например, для проектирования оптических сетей и распределения используемых длин волн для снижения стоимости сети – в терминах оконечного оборудования либо электронных переключателей [ ]. Задача о минимальной энергии в беспроводных сетях заключается в нахождении радиус-вектора передачи для всех станций таким образом, чтобы полная мощность излучения всей сети была насколько возможно малой. Ограниченная версия этой задачи эквивалентна задаче нахождения остовного дерева с максимальным количеством листьев [ ]. Задача поиска остовных деревьев с большим числом листьев эквивалентна задаче поиска небольших связных доминирующих множеств и в связи с этим также носит название задачи о минимальном связном доминирующем множестве [13].

Стратегии ветвления

Кернелизуемость Тьюринга

Преобразование с полиномиальным временем выполнения (x, k) к более простому редуцированному экземпляру (x0, k0) является преобразованием «от многих к одному». Можно обобщить понятие редукции «от многих к одному» до редукции Тьюринга. Как должен развиваться поиск экстремальных структур с полиномиальным временем выполнения в контексте такого менее жесткого FPT-алгоритма?

Алгоритмические формы подхода на базе граничной леммы

Из гипотезы граничной леммы о том, что (G, k) является «да-экземпляром», следует, что существует структура, являющаяся свидетелем для данного факта. Не делается предположений о том, что к этой структуре имеется алгоритмический доступ, а когда будут найдены правила редукции, они должны представлять собой преобразования, которые могут быть применены к (G, k) и структуре, которая может быть найдена в (G, k) за полиномиальное время. Иными словами, правила редукции не могут быть определены относительно структуры-свидетеля. Возможно ли описать более общие подходы к кернелизации, при которых структура-свидетель, используемая в ходе доказательства граничной леммы, может быть вычислена за полиномиальное время, и эта структура предоставит условный контекст для некоторых правил редукции? Как эти подходы изменят метод использования экстремальной структуры?

Задача с аннотациями

Можно рассмотреть обобщенную задачу построения остовного дерева с максимальным количеством листьев (MAX LEAF), в которой вершины и ребра имеют различные аннотации, говорящие о том, какие вершины должны быть листьями (и внутренними вершинами) в решении, и т.д. В общем случае подобная обобщенная форма задачи будет сложнее вышеописанной более простой формы. Однако некоторые из «наиболее известных» FPT-алгоритмов для решения различных задач основаны на таких обобщенных формах с аннотациями. В качестве примеров можно привести алгоритмы нахождения доминирующего множества для планарного графа (PLANAR DOMINATING SET) и разрывающего множества вершин (FEEDBACK VERTEX SET) [ ]. Должны ли аннотации быть непременным компонентом рецепта наилучшего возможного алгоритма кернелизации с полиномиальным временем выполнения?