Конечный автомат: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
 
(не показано 15 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Конечный автомат''' ([[Finite-state automation]])--- распознаватель,
'''Конечный автомат''' ([[Finite-state automation]]) распознаватель,
используемый для задания [[регулярное множество| регулярных множеств]]. '''Конечный автомат''' состоит из входной ленты, входной головки и
используемый для задания [[регулярные множества| ''регулярных множеств'']]. '''Конечный автомат''' состоит из входной ленты, входной головки и
управляющего устройства. Входная лента --- это линейная
управляющего устройства. Входная лента это линейная
последовательность клеток, или ячеек, каждая из которых
последовательность клеток, или ячеек, каждая из которых
может содержать любой символ из <math>\Sigma</math>. В каждый данный
может содержать любой символ из <math>\,\Sigma</math>. В каждый данный
момент входная головка читает, или, как иногда говорят,
момент входная головка читает, или, как иногда говорят,
обозревает одну входную ячейку, а управляющее устройство
обозревает одну входную ячейку, а управляющее устройство
находится в одном состоянии из конечного множества $Q$, т.е.
находится в одном состоянии из конечного множества <math>\,Q</math>, т.е.
имеет конечную память.
имеет конечную память.
[[Файл:FiniteStateAutomation.jpg]]


Работа конечного автомата представляет собой некоторую
Работа конечного автомата представляет собой некоторую
Строка 21: Строка 18:
которых ''конечный автомат'' может сделать, исходя из этой конфигурации.
которых ''конечный автомат'' может сделать, исходя из этой конфигурации.


''Недетерминированный конечный автомат''
[[Недетерминированный конечный автомат|''Недетерминированный конечный автомат'']]
(или просто '''конечный автомат''') --- это пятерка
(или просто '''конечный автомат''') это пятерка
<math>M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)</math>, в которой
<math>\,M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)</math>, в которой


(1) <math>Q</math> --- конечное множество ''состояний'';
(1) <math>\,Q</math> конечное множество [[Состояние автомата|''состояний'']];


(2) <math>\Sigma</math> --- конечное множество допустимых ''входных
(2) <math>\,\Sigma</math> конечное множество допустимых ''входных
символов'';
символов'';


(3) <math>\delta</math> --- отображение множества <math>Q\times\Sigma</math> в
(3) <math>\,\delta</math> отображение множества <math>\,Q\times\Sigma</math> в
множество подмножеств <math>Q</math>, называемое ''функцией переходов'';
множество подмножеств <math>\,Q</math>, называемое ''функцией переходов'';


(4) <math>q_0\in Q</math> --- выделенное ''начальное состояние'';
(4) <math>q_0\in Q</math> выделенное [[Начальное состояние автомата|''начальное состояние'']];


(5) <math>F\subseteq Q</math> --- множество ''заключительных состояний''.
(5) <math>F\subseteq Q</math> множество [[Заключительное состояние автомата|''заключительных состояний'']].


'''Конечный автомат''' <math>M</math> называется ''детерминированным'',
'''Конечный автомат''' <math>\,M</math> называется [[Детерминированный конечный автомат|''детерминированным'']],
если множество <math>\delta(q,a)</math> содержит не более одного
если множество <math>\,\delta(q,a)</math> содержит не более одного
состояния для любых <math>q\in Q</math> и <math>a\in\Sigma</math>. Если
состояния для любых <math>q\in Q</math> и <math>a\in\Sigma</math>. Если
<math>\delta(q,a)</math> всегда содержит точно одно состояние, то
<math>\,\delta(q,a)</math> всегда содержит точно одно состояние, то
автомат <math>M</math> называется ''полностью определенным''.
автомат <math>\,M</math> называется [[Полностью определенный конечный автомат|''полностью определенным'']].


Любая пара <math>(q,\omega)\in Q\times\Sigma^*</math>
Любая пара <math>(q,\omega)\in Q\times\Sigma^*</math>
называется ''конфигурацией'' автомата <math>M</math>. Конфигурация
[[Конфигурация конечного автомата|''конфигурацией'']] автомата <math>\,M</math>. Конфигурация
<math>(q_0,\omega)</math> называется ''начальной'', а пара <math>(q,e)</math>,
<math>\,(q_0,\omega)</math> называется [[Начальная конфигурация конечного автомата|''начальной'']], а пара <math>\,(q,e)</math>,
где <math>q\in F</math>, называется ''заключительной'' (или ''допускающей'').
где <math>q\in F</math>, называется [[Заключительная конфигурация конечного автомата|''заключительной'']] (или [[Допускающая конфигурация конечного автомата|''допускающей'']]).


Tакт работы автомата <math>M</math> представляется бинарным отношением
Tакт работы автомата <math>\,M</math> представляется бинарным отношением
<math>\vdash_M</math>, определенным на конфигурациях. Если
<math>\vdash_M</math>, определенным на конфигурациях. Если
<math>\delta(q,a)</math> содержит <math>p</math>, то
<math>\,\delta(q,a)</math> содержит <math>\,p</math>, то
<math>(q,a\omega)\vdash_M(p,\omega)</math> для всех
<math>(q,a\omega)\vdash_M(p,\omega)</math> для всех
<math>\omega\in\Sigma^*</math>. Отношения <math>\vdash_{M}^{+}</math> и <math>\vdash_{M}^{*}</math>
<math>\omega\in\Sigma^*</math>. Отношения <math>\vdash_{M}^{+}</math> и <math>\vdash_{M}^{*}</math>
Строка 57: Строка 54:


Автомат <math>M</math> ''допускает'' цепочку <math>\omega\in\Sigma^*</math>, если
Автомат <math>M</math> ''допускает'' цепочку <math>\omega\in\Sigma^*</math>, если
<math>(q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e)</math> для некоторого <math>q\in F</math>. ''
<math>(q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e)</math> для некоторого <math>q\in F</math>.  
Языком'', ''определяемым'' (''распознаваемым'', ''допускаемым'')
 
Языком, ''определяемым'' (''распознаваемым'', ''допускаемым'')
автоматом <math>M</math> (обозначается <math>L(M)</math>), называется множество
автоматом <math>M</math> (обозначается <math>L(M)</math>), называется множество
входных цепочек, допускаемых автоматом <math>M</math>, т.е.
входных цепочек, допускаемых автоматом <math>M</math>, т.е.
Строка 66: Строка 64:


Часто бывает удобно использовать графическое представление
Часто бывает удобно использовать графическое представление
'''конечного автомата'''  в виде так называемой ''диаграммы''
'''конечного автомата'''  в виде так называемой [[Диаграмма конечного автомата|''диаграммы'']]
(или ''графа переходов'') автомата ---
(или [[Граф переходов автомата|''графа переходов'']]) автомата
[[орграф|орграфа]], [[вершина|вершины]] которого помечены
[[орграф|''орграфа'']], [[вершина|''вершины'']] которого помечены
символами состояний и в котором есть дуга <math>(p,q)</math>, если
символами состояний и в котором есть дуга <math>\,(p,q)</math>, если
существует такой символ <math>a\in\Sigma</math>, что <math>q\in\delta(p,a)</math>.
существует такой символ <math>a\in\Sigma</math>, что <math>q\in\delta(p,a)</math>.
Кроме того, дуга <math>(p,q)</math> помечается списком, состоящим из
Кроме того, дуга <math>\,(p,q)</math> помечается списком, состоящим из
таких <math>a</math>, что <math>q\in\delta(p,a)</math>.
таких <math>\,a</math>, что <math>q\in\delta(p,a)</math>.
 
[[Файл:Finite-state automation.gif|550px]]


На рисунке приведены два конечных автомата, допускающих язык <math>\,\{a^n b^m: n>0, m>0\}</math>:
<math>\,M_1</math> — недетерминированный, <math>\,M_2</math> — детерминированный полностью определенный.


== См. также ==
== См. также ==


[[Преобразователь]],  
* ''[[Преобразователь]],''


[[Теорема о детерминизации]].
* ''[[Теорема о детерминизации]].''


==Литература==
==Литература==


[Ахо-Ульман],
* Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. — М.: Мир, 1978. — Т. 1,2.


[Касьянов/95],
* Касьянов В.Н.  Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений.  — Новосибирск: НГУ, 1995.


[Касьянов-Поттосин]
* Касьянов В.Н., Поттосин И.В. Методы построения трансляторов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986.


[[Категория: Теория автоматов]]
[[Категория: Теория автоматов]]

Текущая версия от 12:22, 4 апреля 2011

Конечный автомат (Finite-state automation) — распознаватель, используемый для задания регулярных множеств. Конечный автомат состоит из входной ленты, входной головки и управляющего устройства. Входная лента — это линейная последовательность клеток, или ячеек, каждая из которых может содержать любой символ из [math]\displaystyle{ \,\Sigma }[/math]. В каждый данный момент входная головка читает, или, как иногда говорят, обозревает одну входную ячейку, а управляющее устройство находится в одном состоянии из конечного множества [math]\displaystyle{ \,Q }[/math], т.е. имеет конечную память.

Работа конечного автомата представляет собой некоторую последовательность шагов (или тактов). Каждый такт определяется текущим состоянием управляющего устройства и входным символом, обозреваемым в данный момент входной головкой. Сам шаг состоит из изменения состояния управляющего устройства и сдвига входной головки на одну ячейку вправо. Для каждой текущей конфигурации в общем случае существует конечное множество возможных следующих шагов, любой из которых конечный автомат может сделать, исходя из этой конфигурации.

Недетерминированный конечный автомат (или просто конечный автомат) — это пятерка [math]\displaystyle{ \,M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F) }[/math], в которой

(1) [math]\displaystyle{ \,Q }[/math] — конечное множество состояний;

(2) [math]\displaystyle{ \,\Sigma }[/math] — конечное множество допустимых входных символов;

(3) [math]\displaystyle{ \,\delta }[/math] — отображение множества [math]\displaystyle{ \,Q\times\Sigma }[/math] в множество подмножеств [math]\displaystyle{ \,Q }[/math], называемое функцией переходов;

(4) [math]\displaystyle{ q_0\in Q }[/math] — выделенное начальное состояние;

(5) [math]\displaystyle{ F\subseteq Q }[/math] — множество заключительных состояний.

Конечный автомат [math]\displaystyle{ \,M }[/math] называется детерминированным, если множество [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] содержит не более одного состояния для любых [math]\displaystyle{ q\in Q }[/math] и [math]\displaystyle{ a\in\Sigma }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] всегда содержит точно одно состояние, то автомат [math]\displaystyle{ \,M }[/math] называется полностью определенным.

Любая пара [math]\displaystyle{ (q,\omega)\in Q\times\Sigma^* }[/math] конфигурацией автомата [math]\displaystyle{ \,M }[/math]. Конфигурация [math]\displaystyle{ \,(q_0,\omega) }[/math] называется начальной, а пара [math]\displaystyle{ \,(q,e) }[/math], где [math]\displaystyle{ q\in F }[/math], называется заключительной (или допускающей).

Tакт работы автомата [math]\displaystyle{ \,M }[/math] представляется бинарным отношением [math]\displaystyle{ \vdash_M }[/math], определенным на конфигурациях. Если [math]\displaystyle{ \,\delta(q,a) }[/math] содержит [math]\displaystyle{ \,p }[/math], то [math]\displaystyle{ (q,a\omega)\vdash_M(p,\omega) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \omega\in\Sigma^* }[/math]. Отношения [math]\displaystyle{ \vdash_{M}^{+} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vdash_{M}^{*} }[/math] являются соответственно транзитивным замыканием и рефлексивным и транзитивным замыканием отношения [math]\displaystyle{ \vdash_M }[/math].

Автомат [math]\displaystyle{ M }[/math] допускает цепочку [math]\displaystyle{ \omega\in\Sigma^* }[/math], если [math]\displaystyle{ (q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ q\in F }[/math].

Языком, определяемым (распознаваемым, допускаемым) автоматом [math]\displaystyle{ M }[/math] (обозначается [math]\displaystyle{ L(M) }[/math]), называется множество входных цепочек, допускаемых автоматом [math]\displaystyle{ M }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ L(M)=\{\omega:\omega\in\Sigma^* }[/math] и [math]\displaystyle{ (q_0,\omega)\vdash_{M}^{*}(q,e) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ q\in F\} }[/math].


Часто бывает удобно использовать графическое представление конечного автомата в виде так называемой диаграммы (или графа переходов) автомата — орграфа, вершины которого помечены символами состояний и в котором есть дуга [math]\displaystyle{ \,(p,q) }[/math], если существует такой символ [math]\displaystyle{ a\in\Sigma }[/math], что [math]\displaystyle{ q\in\delta(p,a) }[/math]. Кроме того, дуга [math]\displaystyle{ \,(p,q) }[/math] помечается списком, состоящим из таких [math]\displaystyle{ \,a }[/math], что [math]\displaystyle{ q\in\delta(p,a) }[/math].

Finite-state automation.gif

На рисунке приведены два конечных автомата, допускающих язык [math]\displaystyle{ \,\{a^n b^m: n\gt 0, m\gt 0\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \,M_1 }[/math] — недетерминированный, [math]\displaystyle{ \,M_2 }[/math] — детерминированный полностью определенный.

См. также

Литература

  • Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. — М.: Мир, 1978. — Т. 1,2.
  • Касьянов В.Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. — Новосибирск: НГУ, 1995.
  • Касьянов В.Н., Поттосин И.В. Методы построения трансляторов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986.