Квантование цепей Маркова: различия между версиями

Предположим, что даны три матрицы A, B, C размера <math>n \times n</math> и требуется определить, верно ли соотношение <math>AB \ne C</math> (то есть, существуют ли i,j такие, что <math>\sum_k A_{ik} B_{kj} \ne C_{ij}</math>), используя как можно меньше запросов к элементам A, B и C. Сложность классического подхода к решению этой задачи равна <math>\Theta(n^2)</math>. Бурман и Спалек [5] предложили квантовый алгоритм выполнения запросов со сложностью <math>O(n^{5/3})</math>, используя результаты из [18].

Можно ли распространить квадратичное ускорение квантового времени достижения со всех симметричных цепей Маркова на все обратимые? Можно ли распространить нижнюю границу вероятности наблюдения из [18] за пределы класса транзитивных по состоянию цепей Маркова с единственным помеченным состоянием? Какие еще алгоритмические приложения квантового времени достижения можно найти?

Еще одной сферой широкого применения цепей Маркова в классических алгоритмах является ''перемешивание''. В частности, алгоритмы ''Марковской цепи в методе Монте-Карло'' работают путем запуска эргодической цепи Маркова с тщательно выбранным стационарным распределением <math>\pi</math> до достижения времени перемешивания; в этот момент распределение текущего состояния гарантированно <math>\varepsilon</math>-близко к равномерному. Такие алгоритмы лежат в основе большинства рандомизированных алгоритмов для аппроксимации #P-полных задач. Таким образом, задача выглядит следующим образом:

Понятия квантового времени смешивания на линии, цикле и гиперкубе впервые предложили и проанализировали Наяк и др. [3, 15], Ахаронов и др. [ ], а также Мур и Расселл [14]. В работах Кендон и Трегенны [10] и Рихтера [16] исследовалось использование декогеренции для улучшения перемешивания квантовых блужданий [10]. Остаются открытыми два фундаментальных вопроса о времени квантового перемешивания: как выглядит «наиболее естественное» определение и когда имеет место квантовое ускорение по сравнению с временем перемешивания в классических подходах?