Задача о размещении объектов: различия между версиями

Задачи о размещении объектов рассматривают ситуации, в которых необходимо спланировать местоположение объектов, предназначенных для обслуживания заданного множества клиентов. Цель обычно заключается в минимизации суммы затрат на открытие объектов и затрат на обслуживание их клиентами с учетом различных ограничений – таких как количество и тип клиентов, которых может обслужить объект. Существует множество вариантов этой задачи, зависящих от структуры стоимостной функции и ограничений, налагаемых на решение. Первые исследования задачи о размещении объектов выполнили Кюн и Гамбергер [35], Балински и Волф [8], Манн [40] и Балински [7]. Обзорные работы представили Краруп и Прузан [34], а также Мирчандани и Фрэнсис [42]. Любопытно отметить, что одним из самых эффективных алгоритмов решения задачи о размещении объектов без ограничений на пропускную способность с точки зрения оптимальности является сочетание прямо-двойственного алгоритма с алгоритмом ветвления и границ, предложенное Эрленкоттером [16] еще в 1978 году. Его прямо-двойственная схема близка к техникам, используемым в современной литературе, посвященной алгоритмам аппроксимации.

В последние годы были проведены масштабные исследования алгоритмов аппроксимации для задач о размещении объектов. Обзорные материалы по этим исследованиям выпустили Шмойс [49, 50] и Вайген [55]. Помимо их теоретической и практической важности, задачи о размещении объектов представляют собой яркую демонстрацию применения широко распространенных техник в области алгоритмов аппроксимации, поскольку многие из этих техник (например, округление LP-алгоритма, прямо-двойственные методы и локальный поиск) успешно применяются к этому семейству задач. Далее будут рассмотрены насколько задач о размещении объектов, выполнен экскурс в историю и перечислены алгоритмы аппроксимации с опорой на результаты, полученные в работе Шмойса, Тардош и Аардал [51]. Техники, применяемые к ''задаче о размещении объектов без ограничений на пропускную способность'' (uncapacitated facility location, '''UFL'''), будут рассмотрены более подробно.

Хохбаум [25] разработала алгоритм O(log n)-аппроксимации для задачи UFL. Путем прямой редукции задачи о покрытии множества можно показать, что его коэффициент не может быть улучшен иначе как в случае <math>NP \subseteq DTIME[n^{O(log \; log \; n)}]</math> в силу результата, полученного Фейге [17]. Однако, если стоимость соединения ограничена в силу некоторых свойств расстояния в метрическом пространстве, а именно <math>c_{ij} = c_{ji} \ge 0 \;</math> для всех <math>i \in \mathcal{F}, j \in \mathcal{C}</math> (неотрицательность и симметричность) и <math>c_{ij} + c_{ji'} + c_{i'j'} \ge c_{i j'} \;</math> для всех <math>i, i' \in \mathcal{F}, j, j' \in \mathcal{C}</math> (неравенство треугольника), то можно получить гарантии константной аппроксимации. Во всех упомянутых выше результатах, за исключением задачи максимизации, предполагается, что стоимости удовлетворяют этим ограничениям. Для случая евклидовых расстояний между объектами и клиентами были получены схемы аппроксимации для некоторых задач о размещении объектов [5].

В ''задаче с ограничениями на пропускную способность'' для всех <math>i \in \mathcal{F}</math> добавляется ограничение на пропускную способность <math>\sum_{j \in C} x_{ij} \le u_i y_i</math>. Важно различать случаи ''с возможностью разделения'' и с его ''невозможностью'', а также случаи с ''мягким'' и ''жестким ограничением на пропускную способность''. В случае с возможностью разделения имеем <math>x \ge 0 \;</math>, что позволяет обслуживать клиента при помощи нескольких депо; в случае с невозможностью разделения необходимо выполнение <math>x \in \{ 0, 1 \}^{n_f \times b_c}</math>. Если каждый объект может быть открыт не более одного раза (т. е. <math>y_i \in \{ 0, 1 \} \;</math>), ограничения называются жесткими; если в задаче допускается открытие объекта i любое количество r раз для обслуживания <math>ru_i \;</math> клиентов, ограничения называются мягкими.

В k-уровневой задаче о размещении объектов заданы следующие начальные данные: множество клиентов C, k непересекающихся множеств <math>\mathcal{F}_1, ..., \mathcal{F}_k</math> объектов, стоимость открытия каждого объекта и стоимость соединения клиентов и объектов. Задача заключается в соединении каждого клиента j по пути, состоящему из открытых объектов <math>i_1, ... , i_k \;</math>, где <math>i_{\ell} = \mathcal{F}_{\ell}</math>. Стоимость соединения для этого объекта имеет вид <math>c_{ji_1} + c_{i_1 i_2} + ... + c_{i_{k - 1}i_k} \;</math>. Задача заключается в минимизации суммы стоимостей соединений и стоимостей открытия объектов.

Все вышеупомянутые задачи были рассмотрены в работе Шмойса, Тардош и Аардал [15] за исключением задач max-UFL, о k-центрах и k-медианах. Вариант max-UFL был добавлен по историческим причинам, а задачи о k-центрах и k-медианах включены в силу их богатой истории и близкого родства с задачей UFL. Результаты для задачи о размещении объектов с жесткими ограничениями на пропускную способность упомянуты, поскольку, по крайней мере с точки зрения приложения, эта модель более реалистична по сравнению с версией с мягкими ограничениями, рассмотренной в [51]. Для k-уровневой задачи о размещении объектов Шмойс и др. рассматривали случай k = 2. Здесь рассматривается задача для k общего вида.

Вначале будет представлен алгоритм решения задачи UFL, а затем перечислены результаты, которые могут быть получены за счет адаптации алгоритма к другим задачам.

Алгоритм выполняет LP-релаксацию, а затем в два этапа модифицирует полученное дробное решение. Первый этап, называемый ''фильтрацией'', предназначен для ограничения стоимости соединения каждого клиента с самым удаленным объектом, частично обслуживающим его. Для этого переменные <math>y_i \;</math>, обозначающие стоимость открытия объектов, пропорционально увеличиваются на константную величину, а затем переменные <math>x_{ij} \;</math>, обозначающие стоимость соединения, корректируются для использования ближайших возможных объектов.

Для второго этапа используется понятие ''кластеризации'', позднее формализованное Чудаком и Шмойсом [13]. Основываясь на дробном решении, экземпляр разбивается на фрагменты, называемые ''кластерами''. У каждого кластера имеется отдельный клиент, называемый ''центром кластера''. Это производится путем итеративного выбора клиента, не охваченного предыдущими кластерами, в качестве центра кластера, и добавления к этому кластеру объектов, обслуживающих этого клиента в дробном решении, а также других клиентов, обслуживаемых этими объектами. Такое построение кластеров гарантирует, что объекты в каждом кластере открыты для количества клиентов, в сумме равного единице и, следовательно, после открытия объекта с наименьшей возможной стоимостью в каждом кластере суммарная уплаченная стоимость открытия объекта не превышает стоимость открытия объекта у дробного решения. Более того, выбирая клиентов в качестве центров кластеров жадным образом, алгоритм добивается того, чтобы каждый центр кластера минимизировал определенную стоимостную функцию для клиентов кластера. Оставшиеся клиента кластера также соединяются с открытым объектом. Для ограничения стоимости этого соединения используется неравенство треугольника для стоимостей соединений. Для задачи UFL этот алгоритм фильтрации и округления представляет собой алгоритм 4-аппроксимации, Шмойс и др. Также показали, что в случае замены этапа фильтрации ''рандомизированной фильтрацией'' можно получить гарантию аппроксимации 3,16.

В той же статье была выполнена адаптация алгоритма, с применением рандомизированной фильтрации и без нее, с целью получения алгоритмов аппроксимации для задачи о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность, а также для двухуровневой задачи о размещении объектов без ограничений на пропускную способность. Далее будут обсуждаться результаты работы алгоритма с применением рандомизированной фильтрации.

Были рассмотрены два варианта задачи о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность. Оба предполагают равную пропускную способность, т. е. <math>u_i = u \;</math> для всех <math>i \in \mathcal{F}</math>. В первом варианте решение является «допустимым», если y-переменные либо принимают значение 0, либо имеют значение между 1 и <math>\gamma' \ge 1 \;</math>. Заметим, что <math>\gamma' \;</math> не обязательно должно быть целым, так что построенное решение не обязательно является целочисленным. Это можно интерпретировать так, что каждому объекту i дозволяется расширяться, обеспечивая пропускную способность <math>\gamma' u \;</math> со стоимостью <math>\gamma' f_i \;</math>. Алгоритм <math>(\gamma, \gamma') \;</math>-аппроксимации представляет собой полиномиальный алгоритм, приводящий к такому допустимому решению, общая стоимость которого не более чем в <math>\gamma \;</math> раз превышает истинную оптимальную стоимость, имеющую место в случае <math>y \in \{0, 1 \}^{n_f} \;</math>. Шмойс и др. разработали алгоритм (5,69< 4,24)-аппроксимации для варианта этой задачи с возможностью разделения и алгоритм (7,62< 4,29)-аппроксимации для варианта без возможности разделения.

Во второй модели о размещении объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность задача меняется таким образом, чтобы y-переменные могли принимать неотрицательные целочисленные значения, благодаря чему можно открывать несколько объектов с пропускной способностью u в каждом местоположении. Алгоритмы аппроксимации в данном случае дают решение, являющееся допустимым в рамках данной модифицированной модели. Легко показать, что гарантии аппроксимации, полученные для предыдущей модели, выполняются и в данном случае – речь идет о полученных Шмойсом алгоритмах 5,69-аппроксимации для варианта с возможностью разделения спроса и 7,62-аппроксимации для варианта без возможности разделения спроса. Последняя модель чаще всего рассматривается в более современных работах, поэтому именно на нее будут ссылаться авторы в параграфе, посвященном размещению объектов с мягкими ограничениями на пропускную способность.

Первым алгоритмом с константной гарантией эффективности стал алгоритм аппроксимации с коэффициентом 3,16, разработанный Шмойсом, Тардош и Аардал (см. выше). С тех пор в него были внесены значительные улучшения. Гуха и Хуллер [19, 20] доказали, что нижняя граница аппроксимации составляет 1,463, и предложили жадную процедуру пополнения. Затем была разработана серия алгоритмов аппроксимации на базе LP-округления (см., например, [10, 13]). Существуют также жадные алгоритмы, использующие LP-релаксацию только неявно, для получения нижней границы при анализе прямо-двойственного подхода. В качестве примера можно привести алгоритм аппроксимации JMS с коэффициентом аппроксимации 1,61, разработанный Джейном, Мадьяном и Сабери [29]. Некоторые алгоритмы сочетают несколько разных техник – например, алгоритм аппроксимации Мадьяна, Йе и Чжана [39] с коэффициентом 1,52, использующий алгоритм JMS и жадную процедуру пополнения. Лучшую известную на сегодня гарантию аппроксимации (1,5) получил Бурка [ ]. Она достигается путем сочетания рандомизированного алгоритма LP-округления с жадным алгоритмом JMS.

Первый алгоритм с константным коэффициентом аппроксимации в 1977 году разработали Корнюжо и др. [15] для задачи max-UFL. Они показали, что при открытии одного объекта за раз жадным образом, выбирая для открытия объект с самой высокой маржинальной прибылью, до тех пор, пока не останется объектов с положительной маржинальной прибылью, алгоритм имеет коэффициент аппроксимации (1 — 1/e) & 0,632. Лучший известный на сегодня коэффициент аппроксимации (0,828) получили Агеев и Свириденко [2].

Первый алгоритм с константным коэффициентом аппроксимации для задачи о k-медианах был разработан Чарикаром, Гухой, Тардош и Шмойсом [11]. Этот алгоритм LP-округления имеет коэффициент аппроксимации б|. Лучший известный на сегодня коэффициент аппроксимации, 3 + e, при помощи эвристики локального поиска получили Арья и др. [6] (см. также отдельные разделы для метода k-медиан и задачи о размещении объектов).

Для задачи о размещении объектов с мягкими ограничениями, в которой пропускная способность всех объектов равна, первые алгоритмы аппроксимации с константным коэффициентом разработали Шмойс и др. [51] для обоих вариантов – с возможностью разделения спроса и без таковой возможности (см. выше). Недавно был предложен алгоритм аппроксимации с коэффициентом 2 для решения задачи о размещении объектов с ограничениями на пропускную способность с единичным спросом без возможности разделения, разработанный Мадьяном и др. [39]. Разрыв целостности LP-релаксации для этой задачи также равен 2. Следовательно, для улучшения гарантии аппроксимации необходимо получить улучшенную нижнюю границу в оптимальном решении.

В варианте с жесткими ограничениями на пропускную способность важно разрешить разделение спроса, поскольку в противном случае даже задача существования становится слишком сложной. В случае возможности разделения спроса можно различать случаи с равными значениями пропускной способности, в которых u i = u для всех i 2 F, и общий случай. Для задачи с равными значениями пропускной способности Чудак и Уильямсон получили алгоритм аппроксимации с коэффициентом 5,83 [14]. Первый алгоритм с константным коэффициентом аппроксимации, у = 8:53 + e, для задачи разработали Пал, Тардош и Уэкслер [ ]. Позднее Чжан, Чен и Йе улучшили его, получив коэффициент 5,83 для задачи со значениями пропускной способности общего вида.

Первый алгоритм с константным коэффициентом аппроксимации для k = 2 разработали Шмойс и др. [ ], получив у = 3,16. Для k общего вида первый алгоритм с у = 3, предложиди Аардал, Чудак и Шмойс [ ]. Для случая k = 2 Чжан [56] разработал алгоритм с коэффициентом апроксимации 1,77. Он также показал, что для k = 3 и k = 4 задачу можно аппроксимировать в при у = 2,523 1 и у = 2,81, соответственно.

 

1 Это значение у слегка отличается от значения 2,51, приведенного в статье. Исходное рассуждение содержало небольшую ошибку в расчетах.

Задача о размещении объектов широко применяется в области исследования операций. В книге под редакцией Мирчандани и Фрэнсиса [42], а также в книге Немхаузера и Уолси [43] можно найти обзоры и описание способов применения алгоритмов размещения объектов в таких задачах, как размещение заводов и локализации банковских счетов. Недавно эти алгоритмы также нашли применение в таких задачах проектирования сетей, как размещение маршрутизаторов и кэш-памяти [22, 36], агломерация трафика или данных [4, 21], а также репликация веб-серверов в сети распространения контента [31, 45].

Основными нерешенными вопросами являются определение точного порога аппроксимируемости для задачи UFL и сокращение разрыва между верхней границей 1,5 [10] и нижней границей 1,463 [20]. Еще одна важная задача заключается в поиске лучших алгоритмов аппроксимации для задачи о k-медианах. В частности, любопытно было бы найти алгоритм аппроксимации для этой задачи с коэффициентом 2 на базе LP-подхода. Такой алгоритм помог бы определить разрыв целостности естественной LP-релаксации этой задачи, поскольку существуют простые примеры, доказывающие, что этот разрыв составляет не менее 2.