Жадные алгоритмы аппроксимации: различия между версиями

Однако такой анализ является не вполне корректным. Далее будут рассмотрены некоторые конкретные вопросы и предложена новая общая техника анализа жадного алгоритма аппроксимации с несубмодулярной гармонической функцией.

'''Лемма 1'''. Функция <math>f: 2^X \to R</math> является субмодулярной в том и только том случае, если <math>\Delta_x f(A) \le \Delta_x f(B)</math> для любого <math>x \in X - B \;</math> и <math>A \subseteq B \;</math>. Кроме того, f является монотонно возрастающей в том и только том случае, если <math>\Delta_x f(A) \le \Delta_x f(B)</math> для любого <math>x \in B \;</math> и <math>A \subseteq B \;</math>.

''Доказательство''. Если f является субмодулярной, то для <math>x \in X - B \;</math> и <math>A \subseteq B \;</math> имеет место соотношение

 

 

 

 

 

 

 

Если функция f является монотонно возрастающей, то <math>A \subseteq B \;</math> влечет <math>f(A) \le f(B)</math>. Следовательно, для <math>x \in B \;</math>,

 

 

<math>\Delta_x f(A) \ge 0 = \Delta_x f(B)</math>.

 

 

Напротив, если <math>\Delta_x f(A) \ge \Delta_x f(B)</math> для любого <math>x \in B \;</math> и <math>A \subseteq B \;</math>, тогда, для любых x и A, <math>\Delta_x f(A) \ge \Delta_x f(A \cup \{ x \} ) = 0</math>, то есть <math>f(A) \le f(A \cup \{ x \} )</math>. Пусть <math>B - A = \; \{ x_1, ..., x_k \}</math>. Тогда <math>f(A) \le f(A \cup \{ x_1 \} ) \le f(A \cup \{ x_1, x_2 \} ) \le ... \le f(B)</math>.

 

 

Рассмотрим теперь субмодулярность -q(A).

 

 

'''Лемма 2'''. Если <math>A \subset B \;</math>, то <math>\Delta_y q(A) \ge \Delta_y q(B)</math>.

 

 

''Доказательство''. Заметим, что каждый связный компонент графа (v, D(B)) состоит из одного или нескольких связных компонентов графа (v, D(A)), поскольку <math>A \subset B \;</math>. Следовательно, количество связных компонентов (v, D(B)), доминируемых y, не превышает количества связных компонентов (v, D(A)), доминируемых y. Таким образом, лемма верна.

 

min    c(A)

 

при условии    <math>A \in C_f</math>,

где c – неотрицательная целевая функция, определенная на <math>2^X \;</math>, и <math>C_f = \{ C | f(C \cup \{ x \} ) - f(C) = 0</math> для всех <math>x \in X \} \;</math>. Существует жадный алгоритм, вычисляющий приближенное решение этой задачи.

'''Жадный алгоритм B:'''

 

Входные данные – субмодулярная функция f и целевая функция c;

 

 

'''while''' существует <math>x \in E \;</math>, такое, что <math>\Delta_x f(A) > 0 \;</math>

 

'''do''' выбрать вершину x, максимизирующую <math>\Delta_x f(A)/c(x) \;</math>, и задать <math>A \gets A \cup \{ x \}</math>

 

return A.

'''Теорема 1. Если f – нормализованная, монотонно возрастающая, субмодулярная целочисленная функция, то жадный алгоритм B дает приближенное решение с коэффициентом аппроксимации <math>H( \gamma) \;</math> от оптимального, где <math>\gamma = max_{x \in E} f( \{ x \} )</math>.'''

 

 

«Поскольку добавление <math>C^* \; </math> к <math>C_i \;</math> уменьшит значение гармонической функции с <math>f(C_i) \;</math> до 2, значение f, уменьшенной на вершину из <math>C^* \;</math>, будет в среднем составлять <math>(f(C_i) - 2)/opt \;</math>. Согласно жадному правилу выбора <math>x_i + 1 \;</math>, должно иметь место соотношение <math>f(C_i) - f(C_{i + 1}) \ge \frac{f(C_i) - 2}{opt}</math>».

'''Отказ от субмодулярности'''

 

 

 

 

 

 

Теперь можно провести корректный анализ жадного алгоритма A для MCDS [4]. Согласно лемме 3, <math>f(C_i) - f(C_{i + 1}) \ge \frac{f(C_i) - 2}{opt} - 1</math>.

Следовательно, <math>f(C_{i + 1}) - 2 - opt \le (f(C_i) - 2 + opt) \left ( 1 - \frac{1}{opt} \right ) \le (f( \empty ) - 2 - opt) \left ( 1 - \frac{1}{opt} \right )^{i + 1} = (n - 2 - opt) \left ( 1 - \frac{1}{opt} \right )^{i + 1}</math>,

 

 

где <math>n = |V| \;</math>. Заметим, что <math>1 - 1/opt \le e^{-1/opt}</math>. Таким образом, <math>f(C_i) - 2 - opt \le (n - 2) e^{ -i/opt}</math>.

 

 

Выберем такое <math>i \;</math>, чтобы выполнялось <math>f(C_i) \ge 2 \cdot opt + 2 > f(C_{i+1})</math>. Тогда <math>opt \le (n - 2) e^{ -i/opt}</math> и <math>g - i \le 2 \cdot opt \;</math>.

 

 

Следовательно, <math>g \le 2 \cdot opt + i \le opt \left ( 2 + ln \frac {n - 2} {opt} \right ) \le opt (2 + ln \; \delta)</math>, где <math>\delta \;</math> – максимальная степень исходного графа G.

Можно ли определить коэффициент эффективности <math>1 + H( \delta) \;</math> для жадного алгоритма B в задаче MCDS? Ответ неизвестен. Неизвестно также, как получить четкое обобщение теоремы 1.

* ''[[Алгоритмы локального поиска для k-КНФ]]