Деревья Штейнера: различия между версиями

Разработка алгоритма аппроксимации

Пусть дано множество точек, называемых полюсами, в метрическом пространстве. Задача заключается в нахождении кратчайшего дерева, связывающего все точки. В случае деревьев Штейнера используются три основных метрических пространства: евклидова плоскость, плоскость с прямолинейными расстояниями и сеть с взвешенными ребрами. Задачи построения [[дерево Штейнера|дерева Штейнера]] в этих метрических пространствах носят названия [[Евклидова задача Штейнера|евклидовой задачи Штейнера]] (Euclidean Steiner Tree, EST), ''прямолинейного дерева Штейнера'' (Rectilinear Steiner Tree, RST) и ''сетевого дерева Штейнера'' (Network Steiner Tree, NST), соответственно. Было обнаружено, что для EST и RST имеются схемы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения (PTAS) при помощи адаптивного разбиения. Однако для NST существует положительное число r, такое, что вычисление r-аппроксимации является NP-полной задачей. До настоящего момента лучший коэффициент эффективности для аппроксимации NST с полиномиальным временем выполнения был получен при помощи k-ограниченных деревьев Штейнера. Однако на практике очень часто используется итеративное 1-дерево Штейнера. Фактически итеративное 1-дерево Штейнера уже давно предлагалось в качестве кандидата на хорошую аппроксимацию минимальных деревьев Штейнера. Оно отлично проявило себя в компьютерных экспериментах, однако не было проведено корректного анализа, который показал бы, что коэффициент эффективности итеративного 1-дерева Штейнера превосходит коэффициент эффективности минимального остовного дерева. Недавно такую работу проделали Ду и коллеги [9]. Небольшое различие в построении 3-ограниченного дерева Штейнера и итеративного 1-дерева Штейнера приводит к значительному различию при анализе этих двух типов деревьев. В чем заключается сложность такого анализа? Это будет описано ниже.

Хорошо известной задачей является гипотеза Гилберта-Поллака об отношении Штейнера, представляющем собой минимальное отношение длин между минимальным деревом Штейнера и минимальным остовным деревом для того же множества точек. Гилберт и Поллак в 1968 году предположили, что отношение Штейнера на евклидовой плоскости равно <math>\sqrt{3/2} \;</math> и достигается для трех вершин равностороннего треугольника. Доказательству этой гипотезы было посвящено множество работ, в конечном итоге ее доказали Ду и Хван [7].

Еще одной важной задачей является задача [[лучшая аппроксимация|лучшей аппроксимации]]. Довольно долгое время не удавалось доказать наличие аппроксимации с коэффициентом эффективности меньше обратного значения отношения Штейнера. Первый прорыв совершил Зеликовский [14], который нашел 11/6-аппроксимацию с полиномиальным временем выполнения для задачи NST, что лучше 1/2 – обратного значения отношения Штейнера для сети с взвешенными ребрами. Позднее Берман и Рамайе [2] предложили 92/72-аппроксимацию с полиномиальным временем выполнения для RST, а Ду, Цзян и Фэн [8] закрыли тему, показав, что в любом метрическом пространстве существует аппроксимация с полиномиальным временем выполнения с коэффициентом эффективности меньше обратного значения отношения Штейнера, при условии, что для любого множества с фиксированным количеством точек его минимальное дерево Штейнера вычислимо за полиномиальное время.

В дереве Штейнера полюс может иметь степень больше единицы. Можно провести декомпозицию дерева Штейнера, разбив все вершины со степенью больше 1 на меньшие деревья, в которых каждый полюс является листом. В такой декомпозиции каждое полученное маленькое дерево называется [[полный компонент|полным компонентом]]. Размер полного компонента равен количеству содержащихся в нем полюсов. Дерево Штейнера является k-ограниченным, если каждый его полный компонент имеет размер не более k. Кратчайшее k-ограниченное дерево Штейнера также называется k-ограниченным [[минимальное дерево Штейнера|минимальным деревом Штейнера]]. Обозначим его длину за <math>smt_k(P) \;</math>. Очевидно, что <math>smt_2(P) \;</math> – длина минимального остовного дерева на P, также обозначаемая как mst(P). Пусть smt(P) обозначает длину минимального дерева Штейнера на P. Если значение <math>smt_3(P) \;</math> можно вычислить за полиномиальное время, то этот способ лучше подходит для аппроксимации smt(P) по сравнению с mst(P). Однако до сих пор для <math>smt_3(P) \;</math> не было найдено аппроксимации с полиномиальным временем. Поэтому Зеликовский [14] использовал жадную аппроксимацию <math>smt_3(P) \;</math> для аппроксимации smt(P). Чанг [4, 5] использовал похожий жадный алгоритм для вычисления итеративного 1-дерева Штейнера. Пусть <math>\mathcal{F} \;</math> – семейство подграфов исходного графа G с взвешенными ребрами. Для любого связного подграфа H обозначим за mst(H) длину минимального остовного дерева H, а за mst(H) – сумму mst(H') для H' по всем связным компонентам H для любого подграфа H.

'''Жадный алгоритм <math>H \gets \empty \;</math>;'''

 

 

 

Если множество <math>\mathcal{F} \;</math> состоит из всех полных компонентов размером не более 3, этот жадный алгоритм дает на выходе 3-ограниченное дерево Штейнера, введенное Зеликовским [14]. Если <math>\mathcal{F} \;</math> состоит из всех трехлучевых звезд и всех ребер, где трехлучевая звезда представляет собой дерево с 3 листьями и центральной вершиной, то жадный алгоритм дает на выходе итеративное 1-дерево Штейнера. Интересный факт, на которой обратили внимание Ду и коллеги [ ], заключается в том, что функция gain(<math>\cdot</math>) является субмодулярной над всеми полными компонентами размера не более 3, но не является субмодулярной над всеми трехлучевыми звездами и всеми ребрами.

'''Лемма 1.''' Функция f является субмодулярной в том и только том случае, если для любых <math>A \subset E \;</math> и различных <math>x, y \in E - A \;</math> выполняется

Доказательство. Предположим, что f является субмодулярной. Положим <math>B = A \cup \{ x \} \;</math> и <math>C = A \cup \{ y \} \;</math>. Тогда <math>B \cup C = A \cup A \cup \{ x, y \} \;</math> и <math>В \cap C = A \;</math>. Следовательно, должно иметь место

<math>\Delta_x \Delta f(H) = -mst(P : H \; \cup \; x \; \cup \; y) + mst(P : H \; \cup \; x) + mst(P : H \; \cup \; y) - mst(P : H) = (mst(P : H) - mst(P : H \; \cup x \; \cup \; y)) - (mst(P : H) - mst(P : H \; \cup \; x)) + (mst(P : H) - mst(P : H \; \cup \; y))</math>.

Значение <math>mst(P : H) — mst(P : H \; \cup \; x \; \cup \; y)</math> можно вычислить следующим образом: выберем самое длинное ребро e' из <math>P_x \cup P_y</math>. Заметим, что <math>T \cup x \cup y - e'</math> содержит уникальный цикл Q. Выберем самое длинное ребро e'' из <math>(P_x \cup P_y) \cap Q</math>. Тогда

Задача построения дерева Штейнера является классической NP-полной проблемой и имеет множество приложений для разработки компьютерных микросхем, междугородних телефонных линий, многоадресной маршрутизации в сетях телекоммуникаций и т.п. Разработано множество эвристик жадного типа для построения деревьев Штейнера. Большинство из них демонстрируют высокую эффективность в компьютерных экспериментах, однако без подкрепления со стороны теоретического анализа. Предложенный подход может стать его основой.