Геометрические остовы: различия между версиями

Рассмотрим множество S из n точек в d-мерном Евклидовом пространстве. Сеть на множестве S может быть смоделирована при помощи неориентированного графа G с множеством вершин S размера n и множеством ребер E, в котором каждое ребро (U, V) имеет вес. Геометрическая (евклидова) сеть представляет собой сеть, в которой весом ребра (u, v) является евклидово расстояние |uv| между его конечными точками. Пусть дано вещественное число t > 1. Мы говорим, что граф G является ''t-остовом'' множества S, если для каждой пары точек <math>u, v \in S \;</math> существует путь в G с весом, не более чем в t раз превышающим евклидово расстояние между u и v. Минимальное значение t, при котором граф G является t-остовом S, называется коэффициентом растяжения, или протяженностью, G. Более детальное изложение процедуры построения t-остовов можно найти в книге Нарасимхана и Смида [18]. В данной статье рассматривается построение t-остовов для заданного множества S из n точек в пространстве <math>R^d \;</math> и положительного вещественного числа t > 1, где d является константой.  

'''размер''': количество ребер в графе.

'''степень''': максимальное количество ребер, инцидентных вершине.

'''вес''': сумма весов ребер.

'''диаметр остова''': наименьшее целое число k, такое, что для любой пары вершин u и v из S существует путь в графе между u и v, длиной не более t • |uv| и содержащий не более k ребер.

Далее будут изложены три самых распространенных подхода к построению t-остова на множестве точек в евклидовом пространстве, а также приведено описание процесса построения отказоустойчивых остовов и остовов между многоугольными препятствиями; и, наконец, будут вкратце описаны динамические и кинетические остовы.

<math>\Theta \;</math>-графы были независимо разработаны в конце 80-х Кларксоном и Кейлом. Основная идея заключалась в независимой обработке каждой точки <math>p \in S \;</math> следующим образом. Разобьем пространство <math>\mathcal{R}^d \;</math> на k симплициальных конусов с угловым диаметром не более <math>\theta \;</math> и вершиной в точке p, где <math>k = O(l / \theta^{d - 1}) \;</math>. К каждому непустому конусу C добавляется ребро, связывающее p и точку в C, ортогональная проекция которой на некоторый фиксированный луч в C, исходящий из p, является максимально близкой к p (см. рис. 1a). Полученный граф называется <math>\Theta \;</math>-графом на S.

'''Теорема 1. <math>\Theta \;</math>-граф представляет собой t-остов на множестве S для <math>t = 1 / (cos \; \theta — sin \; \theta)</math>, имеющий <math>O(n / \theta^{d - 1}) \;</math> ребер, и может быть вычислен за время <math>O((n /  \theta^{d - 1}) log^{d - 1} \; n)</math> с использованием <math>O(n / \theta^{d - 1} + n \; log^{d - 2} \; n)</math> памяти.'''

Множество ориентированных ребер удовлетворяет свойству пробелов, если источники любых двух разных ребер разделены расстоянием, по крайней мере в несколько раз превышающим длины кратчайшего из двух ребер. Арья и Смид [5] предложили алгоритм, использующий свойство пробелов для определения того, может ли некоторое ребро быть добавлено к t-остовному графу. Используя свойство пробелов, можно доказать, что построенный остов имеет степень <math>O (1 / \theta^{d - 1}) \;</math> и вес O(log n • wt(MST(S))), где wt(MST(S)) – вес минимального остовного дерева S.

Пусть A и B – два конечных множества точек в <math>\mathcal{R}^d</math>. Будем называть A и B ''значительно удаленными'' по отношению к вещественному числу s > 0, если существуют два непересекающихся шара <math>C_A \;</math> и <math>C_B \;</math> одного и того же радиуса, такие, что <math>C_A \;</math> содержит A, <math>C_B \;</math> содержит B, а расстояние между <math>C_A \;</math> и <math>C_B \;</math> по меньшей мере в s раз превышает радиус <math>C_A \;</math>. Значение s называется коэффициентом удаления.

'''Определение 1'''. Пусть S – множество точек в пространстве <math>\mathcal{R}^d \;</math>, а s > 0 – вещественное число. ''Декомпозицией значительно удаленных пар'' (well-separated pair decomposition, WSPD) для S относительно s является последовательность <math>\{ A_i, B_i \} , 1 \le i \le m \;</math>, пар непустых подмножеств S, таких, что:

Декомпозицию значительно удаленных пар разработали Кэллахан и Косарайю [6]. Построение t-остова при помощи этого подхода заключается в построении декомпозиции S относительно коэффициента удаления s = (4(t + 1))/(t — 1). Вначале возьмем за остовный граф <math>G = (S, \empty) \;</math> и будем итеративно добавлять ребра следующим образом. Для каждой значительно удаленной пары {A, B} из декомпозиции к графу добавляется ребро (a, b), где a и b – произвольные точки из A и B, соответственно. Полученный граф называется WSPD-графом на S.

'''Теорема 2. WSPD-граф представляет собой t-остов на множестве S, имеющий <math>O(s^d \cdot n) \;</math> ребер, и может быть построен за время <math>O(s^dn + n \; log \; n)</math>, где s = 4(t + 1)/(t — 1).'''

'''Ограниченный диаметр'''

'''Ограниченная степень'''

[[Жадный алгоритм]] был впервые представлен в 1989 году Берном (см. также работу Ленкопулоса и Лингаса [15]) и с тех пор широко исследовался. Граф, построенный при помощи жадного алгоритма, будем называть жадным остовом. Основная идея заключается в итеративном построении графа G. Ребра полного графа обрабатываются в порядке возрастания длины. Проверка ребра (u, v) включает запрос о кратчайшем пути в частичном остовном графе G. Если кратчайший путь в G между u и v не превышает t • |uv|, то ребро (u, v) отбрасывается, в противном случае оно добавляется к частичному остовному графу G.

Используя свойство прыжков, можно ограничить вес графа. Дас и Нарасимхан [10] заметили, что жадный остов можно вычислить приближенно при удовлетворении свойства прыжков. Это наблюдение позволило разработать более быстрые алгоритмы для его построения.

Теорема 3 ([14]). Приближенный жадный t-остов на множестве S, имеющий максимальную степень O(1/(t — l)2d~l) и вес O((1/(t - \)и~1 . wt(MST(S)))), может быть построен за время O(n/((t - 1)2d)log n).

Отказоустойчивые остовы

Понятие отказоустойчивых остовов было введено Левкопулосом и др. [ ] в 1998 году. Оно означает, что при отказе одной или нескольких вершин либо одного или нескольких ребер остов должен сохранить свои основные свойства. В частности, в том, что осталось от остова после отказа вершин или ребер, по-прежнему должен сохраниться короткий путь между любыми двумя вершинами. Шумай и Чжао [ ] показали, что жадный подход позволяет получить k-вершинный (или k-реберный) отказоустойчивый геометрический t-остов степени O(k) с общим весом O(k2 ■ wt(MST(S))); эти границы являются асимптотически оптимальными.

Для геометрических остовов естественно рассматривать отказы областей – то есть отказы, уничтожающие все вершины и ребра, пересекающие некоторую нерабочую геометрическую область. Пусть для нерабочей области F граф G G F представляет собой часть G, оставшуюся после того, как точки из S, находящиеся внутри области F, и все ребра, пересекающие F, были удалены из графа; см. рис. 1b. Абам и др. [1] показали, как строить t-остовы размера O(nlogn), являющиеся отказоустойчивыми при  отказе любой выпуклой области. Если разрешается использовать точки Штейнера, можно получить t-остов линейного размера.

Остовы с многоугольными препятствиями

Граф видимости на множестве попарно непересекающихся многоугольников называется графом взаимовидимых областей. Каждая многоугольная вершина является вершиной в графе, а каждое ребро представляет видимую связь между ними: если две вершины видят друг друга, между ними строится ребро. Этот граф полезен благодаря тому, что содержит кратчайший путь, огибающий препятствия, между парой любых вершин.

Динамические и кинетические остовы

О динамических или кинетических остовах известно не так уж много. Арья и др. [ ] предложили структуру данных размера O(n log n), поддерживающую остов на базе списков с пропусками, описанный выше, с ожидаемым амортизированным временем вставки и удаления O(log и log log n) на основе модели случайных обновлений.

Гао и др. [13] показали, как поддерживать t-остов размера O(n/(t-l)d) с максимальной степенью O(l/(f-2)d logo;) и временем вставки и удаления O((loga)/(f — 1)d), где a обозначает пропорциональность S, т.е. отношение максимального расстояния между парой вершин к минимальному. Алгоритм основан на использовании иерархической структуры T с O(log a) уровнями, каждый уровень которой содержит множество центров (подмножество S). Каждая вершина v на уровне i в структуре T связана ребрами со всеми остальными вершинами уровня i, находящимися на расстоянии не более O(2i/(t — 1)) от v. Полученный граф является t-остовом S и может поддерживаться вышеописанным образом. Этот подход может быть обобщен до кинетического случая таким образом, чтобы количество событий в процессе поддержки остова составляло O(n2 log n) при псевдоалгебраическом характере перемещения. Каждое событие может быть обновлено за время O((loga)/(f - 1)d).

Алгоритмы построения разреженных остовов получили широкое применение в таких областях, как поиск в метрическом пространстве [1], который включает запрос по содержанию в мультимедийных объектах, текстовый информационный поиск, распознавание образов и аппроксимацию функций. Еще одним примером является широковещательная рассылка в сетях коммуникаций [ ]. Несколько хорошо известных теоретических работ также основываются на построении t-остовов – к примеру, Рао и Смит [19] совершили прорыв, предложив схему аппроксимации с оптимальным временем O(nlog n) для хорошо известной евклидовой задачи коммивояжера с использованием t-остовов (или баньянов). А Шумай и Лингас [ ] предложили схемы аппроксимации для задач о многосвязности с нахождением объектов минимальной стоимости в геометрических сетях.

1. Разработка алгоритма построения динамического t-остова, который можно обновлять за время O(logc n) для некоторого константного значения c.

3. Алгоритм построения k-вершинного отказоустойчивого остова, который предложили Шумай и Чжао [8], позволяет получить k-вершинный отказоустойчивый t-остов степени O(k) с общим весом O(k2 ■ wt(MST(S))). Однако до сих пор неизвестны способы его эффективной реализации. Можно ли вычислить такой остов за время O(nlog n + kn)?

Задача построения остовов активно исследовалась с теоретической точки зрения, но получила гораздо меньше внимания с практической, или экспериментальной, стороны. Наварро и Паредес [ ] предложили четыре эвристики для множеств точек в пространстве высоких размерностей (d = 20) и эмпирическими методами показали, что время выполнения составило O(n2.24), а количество ребер в полученных графах – O(n1.13). Недавно Фарши и Гудмундссон [12] провели тщательное сравнение алгоритмов построения остовов, упоминавшихся в разделе «Остовы на точках в евклидовом пространстве».