4430
правок
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 3: | Строка 3: | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Задача заключается в построении метрики случайного дерева, вероятностно аппроксимирующей заданную произвольную метрику достаточно хорошим образом. Решение этой задачи применяется в качестве первого этапа выполнения многочисленных алгоритмов | Задача заключается в построении метрики случайного дерева, вероятностно аппроксимирующей заданную произвольную метрику достаточно хорошим образом. Решение этой задачи применяется в качестве первого этапа выполнения многочисленных аппроксимационных алгоритмов, поскольку решать задачи на деревьях обычно проще, чем на графах общего вида. Кроме того, оно применяется в оперативных и распределенных вычислениях. | ||
Строка 28: | Строка 28: | ||
Впоследствии Бартал определил класс древесных метрик, названных вполне разделенными иерархически деревьями (hierarchically well-separated trees, HST), следующим образом. ''Вполне разделенное k-иерархическое дерево'' (k-HST) представляет собой корневое взвешенное дерево, обладающее следующими двумя свойствами: веса ребер, ведущих от любой вершины к ее потомкам, равны; веса ребер на любом пути от вершины к листу уменьшаются не менее чем в k раз. Эти свойства важны для многих алгоритмов | Впоследствии Бартал определил класс древесных метрик, названных вполне разделенными иерархически деревьями (hierarchically well-separated trees, HST), следующим образом. ''Вполне разделенное k-иерархическое дерево'' (k-HST) представляет собой корневое взвешенное дерево, обладающее следующими двумя свойствами: веса ребер, ведущих от любой вершины к ее потомкам, равны; веса ребер на любом пути от вершины к листу уменьшаются не менее чем в k раз. Эти свойства важны для многих аппроксимационных алгоритмов. | ||
Строка 52: | Строка 52: | ||
'''Теорема 2. Пусть имеется n-точечная метрика (V, d). Существует детерминированный алгоритм с полиномиальным временем выполнения, который находит распределение <math>\mathcal{D} \;</math> над O(n log n) древесных метрик, | '''Теорема 2. Пусть имеется n-точечная метрика (V, d). Существует детерминированный алгоритм с полиномиальным временем выполнения, который находит распределение <math>\mathcal{D} \;</math> над O(n log n) древесных метрик, O(log n)-вероятностно аппроксимирующее (V, d).''' | ||
Строка 61: | Строка 61: | ||
После статьи Бартала в 1996 году было найдено множество применений алгоритмов | После выхода статьи Бартала в 1996 году было найдено множество применений аппроксимационных алгоритмов. Многие из них позволяют решать задачи на древесных метриках или HST-метриках. Аппроксимируя метрики общего вида при помощи этих метрик, можно превратить их в алгоритмы для метрик общего вида, как правило, с потерей только члена O(log n) в коэффициенте аппроксимации. В качестве примеров можно упомянуть разметку при помощи метрики, построение сетей с применением «оптового» подхода и группировку деревьев Штейнера. Среди новых областей применения стоит отметить аппроксимационный алгоритм для Unique Games [12], проектирование информационных сетей [13] и сетей с рассеянной маршрутизацией [11]. | ||
Статья в SIGACT News [8] представляет обзор метрической аппроксимации при помощи древесных метрик и более детальное обсуждение построения алгоритмов и техник. | Статья в SIGACT News [8] представляет обзор метрической аппроксимации при помощи древесных метрик и более детальное обсуждение построения алгоритмов и техник. Другие примеры применения см. в [3, 9]. | ||
== Открытые вопросы == | == Открытые вопросы == | ||
Если имеется метрика, порожденная графом, то некоторым практическим приложениям ( | Если имеется метрика, порожденная графом, то некоторым практическим приложениям (например, при решении определенного класса линейных систем) требуется не просто древесная метрика, а древесная метрика, порожденная остовным деревом графа. Элкин, Эмек, Спилмен и Тенг [7] предложили алгоритм поиска остовного дерева со средней невязкой <math>O(log^2 \; n \; log \; log \; n)</math>. Остается открытым вопрос, является ли эта граница точной. | ||
== См. также == | == См. также == |
правок