4430
правок
Алгоритм поиска кратчайших путей между всеми парами при помощи матричного произведения: различия между версиями
Материал из WEGA
Алгоритм поиска кратчайших путей между всеми парами при помощи матричного произведения (посмотреть исходный код)
Версия от 14:29, 1 октября 2023
, 1 октября 2023нет описания правки
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Задача поиска кратчайших путей между всеми парами (APSP) заключается в нахождении кратчайших путей между всеми парами вершин в ориентированном графе с ребрами неотрицательной действительной стоимости. Основное внимание уделяется кратчайшим расстояниям между вершинами, поскольку кратчайшие пути могут быть найдены с незначительным возрастанием стоимости. Классические алгоритмы решают задачу нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин за кубическое время – <math>O(n^3) \, </math>. Наша задача заключается в достижении меньшего времени | Задача поиска кратчайших путей между всеми парами (APSP) заключается в нахождении кратчайших путей между всеми парами вершин в ориентированном графе с ребрами неотрицательной действительной стоимости. Основное внимание уделяется кратчайшим расстояниям между вершинами, поскольку кратчайшие пути могут быть найдены с незначительным возрастанием стоимости. Классические алгоритмы решают задачу нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин за кубическое время – <math>O(n^3) \, </math>. Наша задача заключается в достижении меньшего времени выполнения алгоритма для графа с небольшими целочисленными стоимостями ребер. | ||
Пусть дан ориентированный граф G = (V, E), где V = {1, ..., n} – множество вершин, а E – множество ребер. Стоимость ребра <math>(i, j) \in E\, </math> обозначается как <math>d_{ij}\, </math>. Матрица D размера <math>n \times n</math> содержит элемент <math>d_{ij}\, </math> в позиции (i, j). Для простоты предположим, что <math>d_{ij} > 0 \, </math> и <math>d_{ii} = 0 \, </math> для всех <math>i \ne j</math>. Если не существует ребра из i в j, положим <math>d_{ij} = \infty</math>. Стоимость, или расстояние, пути представляет собой сумму стоимостей всех ребер на пути. Длина пути равна количеству ребер на пути. Кратчайшее расстояние между вершинами i и j равняется минимальной стоимости среди всех путей, ведущих от i до j, и обозначается как <math>d_{ij}^*</math>. Пусть <math>D^* = {d_{ij}^*}</math>. Значение n называется размером матрицы. | Пусть дан ориентированный граф G = (V, E), где V = {1, ..., n} – множество вершин, а E – множество ребер. Стоимость ребра <math>(i, j) \in E\, </math> обозначается как <math>d_{ij}\, </math>. Матрица D размера <math>n \times n</math> содержит элемент <math>d_{ij}\, </math> в позиции (i, j). Для простоты предположим, что <math>d_{ij} > 0 \, </math> и <math>d_{ii} = 0 \, </math> для всех <math>i \ne j</math>. Если не существует ребра из i в j, положим <math>d_{ij} = \infty</math>. Стоимость, или расстояние, пути представляет собой сумму стоимостей всех ребер на пути. Длина пути равна количеству ребер на пути. Кратчайшее расстояние между вершинами i и j равняется минимальной стоимости среди всех путей, ведущих от i до j, и обозначается как <math>d_{ij}^*</math>. Пусть <math>D^* = {d_{ij}^*}</math>. Значение n называется размером матрицы. | ||
| Строка 30: | Строка 30: | ||
Если дан ориентированный граф G, стоимости ребер которого задаются целыми числами от 1 до M, где M – целое положительное число, то граф G можно преобразовать в G’, заменив каждое ребро соответствующим количеством ребер единичной стоимости, вплоть до M. Очевидно, что задача для графа G может быть решена путем применения вышеприведенного алгоритма к G’, для чего потребуется время <math>O((Mn)^{(\omega +3)/2} \, )</math>. Это время оказывается меньше кубического при <math>M < n^{0.116} \, </math>. Поддержка свидетелей вносит дополнительный полилогарифмический коэффициент в каждом случае. | Если дан ориентированный граф G, стоимости ребер которого задаются целыми числами от 1 до M, где M – целое положительное число, то граф G можно преобразовать в G’, заменив каждое ребро соответствующим количеством ребер единичной стоимости, вплоть до M. Очевидно, что задача для графа G может быть решена путем применения вышеприведенного алгоритма к G’, для чего потребуется время <math>O((Mn)^{(\omega +3)/2} \, )</math>. Это время оказывается меньше кубического при <math>M < n^{0.116} \, </math>. Поддержка свидетелей вносит дополнительный полилогарифмический коэффициент в каждом случае. | ||
Для неориентированных графов с единичной стоимостью ребра Зейделем было доказано время | Для неориентированных графов с единичной стоимостью ребра Зейделем было доказано время выполнения <math>\tilde{O}(n^{\omega}) \, </math> [7]. | ||
== Алгоритм Такаоки == | == Алгоритм Такаоки == | ||
| Строка 48: | Строка 48: | ||
Первый этап заменяется алгоритмом на основе произведения (n, n)-Романи, а второй этап модифицируется таким образом, чтобы иметь дело с длинами путей, а не расстояниями. | Первый этап заменяется алгоритмом на основе произведения (n, n)-Романи, а второй этап модифицируется таким образом, чтобы иметь дело с длинами путей, а не расстояниями. | ||
Заметим, что граница M была заменена на <math>\ell</math>M в произведении матриц расстояния на первом этапе. Игнорируя полилогарифмические коэффициенты, получаем время | Заметим, что граница M была заменена на <math>\ell</math>M в произведении матриц расстояния на первом этапе. Игнорируя полилогарифмические коэффициенты, получаем время выполнения для первого этапа – <math>\tilde{O}(n^{\omega} r^2 M) \, </math>. Мы предполагаем, что M соответствует <math>O(n^k) \, </math> для некоторого константного k. Сравнивая эту сложность со сложностью второго этапа, <math>O(n^3/r) \, </math>, получаем полное время вычисления <math>\tilde{O}(n^{(6 + \omega)/3} M^{1/3}) \, </math> при выборе <math>r = O(n^{(3 - \omega)/3} M^{-1/3}) \, </math>. Чтобы время выполнения оказывалось меньше кубического, значение M должно почти совпадать с <math>O(n^{0.624}) \, </math>. | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
| Строка 54: | Строка 54: | ||
Цвик улучшил алгоритм Алона-Галила-Маргалита в нескольких отношениях. Самым серьезным улучшением стало снижение времени нахождения кратчайших путей между всеми парами с <math>O(n^{2.688}) \, </math> до <math>O(n^{2.575}) \, </math> для ребер единичной стоимости. Наибольшее ускорение в алгоритме Алона-Галила-Маргалита [1] было достигнуто в быстрой операции булева произведения матриц, а в алгоритме Такаоки [9] – в быстром умножении матриц расстояния по Романи; в обоих случаях мы имели дело с быстрым матричным умножением квадратных матриц. | Цвик улучшил алгоритм Алона-Галила-Маргалита в нескольких отношениях. Самым серьезным улучшением стало снижение времени нахождения кратчайших путей между всеми парами с <math>O(n^{2.688}) \, </math> до <math>O(n^{2.575}) \, </math> для ребер единичной стоимости. Наибольшее ускорение в алгоритме Алона-Галила-Маргалита [1] было достигнуто в быстрой операции булева произведения матриц, а в алгоритме Такаоки [9] – в быстром умножении матриц расстояния по Романи; в обоих случаях мы имели дело с быстрым матричным умножением квадратных матриц. | ||
В данном разделе «ускорителем» служит алгоритм быстрого умножения матриц расстояния по Романи, созданный на основе алгоритма быстрого умножения прямоугольных матриц, разработанного Копперсмитом [4] и Хуангом и Пэном [5]. Пусть <math>\omega(p, q, r) \, </math> – порядок временной сложности при умножении матриц <math>(n^p, n^q) \, </math> и <math>(n^q, n^r) \, </math>. Предположим, что произведение матриц (n, m) и (m, n) может быть вычислено за <math>O(n^{\omega (1, \mu, 1)}) \, </math> арифметических операций, где <math>m = n^{\mu} \, </math> и <math>0 \le \mu \le 1 \, </math>. Нам известно следующее: <math>O(n^{\omega( 1, 1, 1)}) = O(n^{2.376}) \, </math> и <math>O(n^{\omega (1, 0.294, 1)}) = \tilde{O}(n^2) \, </math>. Для вычисления произведения квадратных матриц (n, n) требуется <math>n^{1 - \mu} \, </math> операций матричного умножения, что дает время | В данном разделе «ускорителем» служит алгоритм быстрого умножения матриц расстояния по Романи, созданный на основе алгоритма быстрого умножения прямоугольных матриц, разработанного Копперсмитом [4] и Хуангом и Пэном [5]. Пусть <math>\omega(p, q, r) \, </math> – порядок временной сложности при умножении матриц <math>(n^p, n^q) \, </math> и <math>(n^q, n^r) \, </math>. Предположим, что произведение матриц (n, m) и (m, n) может быть вычислено за <math>O(n^{\omega (1, \mu, 1)}) \, </math> арифметических операций, где <math>m = n^{\mu} \, </math> и <math>0 \le \mu \le 1 \, </math>. Нам известно следующее: <math>O(n^{\omega( 1, 1, 1)}) = O(n^{2.376}) \, </math> и <math>O(n^{\omega (1, 0.294, 1)}) = \tilde{O}(n^2) \, </math>. Для вычисления произведения квадратных матриц (n, n) требуется <math>n^{1 - \mu} \, </math> операций матричного умножения, что дает время выполнения <math>O(n^{(\omega(1, \mu, 1) + 1 - \mu}) \, </math>, которое можно преобразовать в <math>O(n^{2 + \mu}) \, </math>, где <math>\mu \, </math> удовлетворяет равенству <math>\omega(1, \mu, 1) = 2 \mu + 1 \, </math>. На данный момент лучшее известное значение <math>\mu \, </math> составляет <math>\mu = 0.575 \,</math>, так что временная граница превращается в <math>O(n^{2.575}) \, </math> – это значение уступает <math>O(n^{2.376}) \, </math>. Поэтому в дальнейшем будет использоваться алгоритм для прямоугольных матриц. | ||
Вышеприведенный алгоритм встроен в вычисление произведения (n, m)-Романи при <math>m = n^{\mu} \, </math> и <math>M = n^t \, </math> для некоторого t > 0, а время | Вышеприведенный алгоритм встроен в вычисление произведения (n, m)-Романи при <math>m = n^{\mu} \, </math> и <math>M = n^t \, </math> для некоторого t > 0, а время выполнения составляет <math>\tilde{O}(Mn^{\omega (1, \mu, 1)}) \, </math>. Следующий этап заключается во встраивании произведения (n, m)-Романи в алгоритм нахождения кратчайших путей между всеми парами. Первый алгоритм представляет собой последовательное применение операции возведения в квадрат, напоминающее второй этап алгоритма в [1]. Чтобы с пользой применить алгоритм произведения прямоугольных матриц (n, m)-Романи, нам потребуется определение мостового множества, которое будет играть ту же роль, что и множество I в алгоритме частичного вычисления матричного произведения в разделе «Постановка задачи». | ||
Обозначим за <math>\delta(i,j) \, </math> кратчайшее расстояние между i и j, а за <math>n(i,j) \, </math> – минимальную длину среди всех кратчайших путей от i до j. Подмножество I множества вершин V является <math>\ell</math>-мостовым множеством, если удовлетворяет следующему условию: если <math>\eta(i,j) \ge \ell</math>, существует <math>k \in I</math>, такое, что <math>\delta(i,j) = \delta(i,k) + \delta(k,j) \, </math>. I является сильным <math>\ell</math>-мостовым множеством при выполнении условия: если <math>\eta(i,j) \ge \ell \, </math>, то существует <math>k \in I</math>, такое, что <math>\delta(i,j) = \delta(i,k) + \delta(k,j) \, </math> и <math>\eta(i,j) = \eta(i,k) + \eta(k,j) \, </math>. Заметим, что для графа с ребрами единичной стоимости эти множества совпадают. | Обозначим за <math>\delta(i,j) \, </math> кратчайшее расстояние между i и j, а за <math>n(i,j) \, </math> – минимальную длину среди всех кратчайших путей от i до j. Подмножество I множества вершин V является <math>\ell</math>-мостовым множеством, если удовлетворяет следующему условию: если <math>\eta(i,j) \ge \ell</math>, существует <math>k \in I</math>, такое, что <math>\delta(i,j) = \delta(i,k) + \delta(k,j) \, </math>. I является сильным <math>\ell</math>-мостовым множеством при выполнении условия: если <math>\eta(i,j) \ge \ell \, </math>, то существует <math>k \in I</math>, такое, что <math>\delta(i,j) = \delta(i,k) + \delta(k,j) \, </math> и <math>\eta(i,j) = \eta(i,k) + \eta(k,j) \, </math>. Заметим, что для графа с ребрами единичной стоимости эти множества совпадают. | ||
| Строка 72: | Строка 72: | ||
== Открытые вопросы == | == Открытые вопросы == | ||
Среди оставшихся нерешенными задач особенно выделяются две. Первая заключается в уменьшении сложности <math>\tilde{O}(n^{2.575}) \, </math> при нахождении кратчайших путей между всеми парами вершин графа с | Среди оставшихся нерешенными задач особенно выделяются две. Первая заключается в уменьшении сложности <math>\tilde{O}(n^{2.575}) \, </math> при нахождении кратчайших путей между всеми парами вершин графа с ребрами единичной стоимости. Вторая состоит в улучшении границы <math>M < O(n^{0.624}) \, </math> сложности алгоритма нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин графа, стоимости ребер которого являются целыми числами не более M, и достижении значений ниже кубических. | ||
== См. также == | == См. также == | ||
* ''[[Алгоритм поиска кратчайших путей в разреженных графах]]'', | * ''[[Алгоритм поиска кратчайших путей между всеми парами в разреженных графах]]'', | ||
* ''[[Полностью динамический алгоритм нахождения кратчайших путей между всеми парами]]'' | * ''[[Полностью динамический алгоритм нахождения кратчайших путей между всеми парами]]'' | ||
