Дробно-линейные задачи об упаковке и покрытии: различия между версиями

'''Теорема 5. Для <math>0 < \varepsilon < 1</math> существует рандомизированная <math>\varepsilon</math>-ослабленная разрешающая процедура для дробно-линейной задачи о покрытии, предположительно использующая <math>O(mk + (\sum_l \rho^l)log^2 \; m + k \; log \varepsilon^{-1} + \varepsilon^{-2} (\sum_l \rho^l) log(m \varepsilon^{-1}))</math> вызовов оракула COVER_ORACLE<math>_l</math> для некоторого <math>l \in \{ 1, ..., k \}</math> (возможно, <math>l</math> различно для каждого вызова) плюс время, необходимое для вычисления <math>\sum_l A^l x^l</math> для текущего компонента итерации <math>x = (x^1, x^2, ..., x^k)</math> между последовательными вызовами.'''

'''Теорема 6. Заменим COVER_ORACLE на оракула, который для заданного вектора <math>y \ge 0</math> находит точку <math>\bar{x} \in P</math>, такую, что <math>y^T \bar{x} \ge (1 - \varepsilon/2) C_C(y) - (\varepsilon/2) \lambda y^T b</math>, где <math>\lambda</math> максимально, так что неравенство <math>Ax \ge \lambda b</math> удовлетворяется на текущей итерации x. Тогда теоремы 4 и 5 по-прежнему верны.'''

'''Теорема 7. Для <math>0 < \varepsilon \le 1</math> существуют рандомизированная <math>\varepsilon</math>-ослабленная разрешающая процедура для дробно-линейной задачи одновременных упаковке и покрытии, предположительно использующая <math>O(m^2 (log^2 \rho) \varepsilon^{-2} \; log(\varepsilon^{-1} m \; log \; \rho))</math> вызовов оракула SIM_ORACLE, и детерминированная версия, использующая на <math>log \; \rho</math> вызовов больше, плюс время, необходимое для вычисления <math>\hat{A}x</math> для текущего компонента итерации x между последовательными вызовами.'''

'''Теорема 8. Для <math>0 < \varepsilon \le 1</math> существует детерминированная <math>\varepsilon</math>-ослабленная разрешающая процедура для общей задачи, использующая <math>O(\varepsilon^{-2} \rho^2 \; log(m \; \rho \; \varepsilon^{-1}))</math> вызовов оракула GEN_ORACLE плюс время, необходимое для вычисления Ax для текущего компонента итерации x между последовательными вызовами.'''

Время выполнения этих алгоритмов пропорционально ширине <math>\rho</math>; авторами статьи были разработаны техники уменьшения ширины для множества специальных случаев рассматриваемых задач. В качестве результата, полученного при помощи этих техник, можно привести следующий пример. Если задача об упаковке определяется при помощи выпуклого множества, являющегося произведением k выпуклых множеств меньших размерностей, т. е. <math>P = P^1 \times \cdot \cdot \cdot \times P^k</math>, и неравенств <math>\sum_l A^l x^l \le b</math>, тогда существует рандомизированная <math>\varepsilon</math>-ослабленная разрешающая процедура, предположительно использующая <math>O(\varepsilon^{-2} k \; log(m \; \varepsilon^{-1}) + k \; log \; k)</math> вызовов подпрограммы, вычисляющей точку с минимальной стоимостью в <math>\hat{P}^l = \{ x^l \in P^l: A^l x^l \le b \}, l = 1, ..., k</math>, и детерминированная версия процедуры, использующая <math>O(\varepsilon^{-2} \; k^2 \; log(m \; \varepsilon^{-1}))</math> таких вызовов плюс время, необходимое для вычисления Ax для текущего компонента итерации x между последовательными вызовами. Этот результат может быть применен к задаче управления несколькими товарными потоками, при этом указанная подпрограмма должна выполнять вычисление потоков минимальной стоимости с одним источником, а не вычисление кратчайших путей, которое требуется для исходного алгоритма.