4551
правка
Преобразование Барроуза-Уилера: различия между версиями
Материал из WEGA
Преобразование Барроуза-Уилера (посмотреть исходный код)
Версия от 11:20, 24 января 2017
, 24 января 2017→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
'''Нотация''' | '''Нотация''' | ||
Пусть s – строка длины n, состоящая из символов алфавита | Пусть s – строка длины n, состоящая из символов алфавита <math>\Sigma \;</math>. Для i = 0, ... , n - 1 обозначим за s[i] i-й символ строки s, а за s[i, n - 1] – суффикс строки s, начинающийся с позиции i (т.е. начинающийся с символа s[i]). Если даны две строки, s и t, выражение <math>s \prec t \;</math> будет обозначать, что s лексикографически предшествует t. | ||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
В работе [3] Барроуз и Уилер предложили новый алгоритм сжатия, основанный на обратимом преобразовании, которое ныне называется преобразованием Барроуза-Уилера (bwt). Пусть имеется строка s. Вычисление значения bwt(s) состоит из трех основных этапов см. рис. 1): | В работе [3] Барроуз и Уилер предложили новый алгоритм сжатия, основанный на обратимом преобразовании, которое ныне называется преобразованием Барроуза-Уилера (bwt). Пусть имеется строка s. Вычисление значения bwt(s) состоит из трех основных этапов см. рис. 1): | ||
1. добавить в концу строки s специальный символ $, который меньше любого другого символа в | 1. добавить в концу строки s специальный символ $, который меньше любого другого символа в <math>\Sigma \;</math>; | ||
2. сформировать концептуальную матрицу M, строки которой содержат круговые сдвиги строки s$, отсортированные в лексикографическом порядке; | 2. сформировать ''концептуальную'' матрицу <math>\mathcal{M} \;</math>, строки которой содержат круговые сдвиги строки s$, отсортированные в лексикографическом порядке; | ||
3. построить преобразованные текст | 3. построить преобразованные текст <math>\hat{s} = bwt(s) \;</math>, взяв последний столбец матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>. | ||
Заметим, что каждый столбец матрицы M – и, следовательно, преобразованный текст s – представляет собой перестановку строки s$. В нашем примере F, первый столбец bwt-матрицы M, состоит из всех символов s, отсортированных по алфавиту. На рис. 1 F = $iiiimppssss. | Заметим, что каждый столбец матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> – и, следовательно, преобразованный текст s – представляет собой перестановку строки s$. В нашем примере F, первый столбец bwt-матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, состоит из всех символов s, отсортированных по алфавиту. На рис. 1 F = $iiiimppssss. | ||
| Строка 46: | Строка 46: | ||
Рисунок 1 | Рисунок 1 | ||
Пример преобразования Барроуза-Уилера для строки s=mississippi. Матрица в правой части состоит из строк, отсортированных в лексикографическом порядке. Выходным значением алгоритма bwt является последний столбец отсортированной матрицы; в нашем примере это s = bwt(s) = ipssm$pissii | Пример преобразования Барроуза-Уилера для строки s=mississippi. Матрица в правой части состоит из строк, отсортированных в лексикографическом порядке. Выходным значением алгоритма bwt является последний столбец отсортированной матрицы; в нашем примере это <math>\hat{s} = bwt(s) = ipssm$pissii \;</math>. | ||
| Строка 52: | Строка 52: | ||
'''Определение 1.''' Для 1 < i < n обозначим за s[ki, n-1] суффикс строки s, являющейся префиксом строки i матрицы M, и определим ^(i) как индекс строки, которой предшествует префикс s[ki + 1, n - 1]. | '''Определение 1.''' Для 1 < i < n обозначим за s[ki, n-1] суффикс строки s, являющейся префиксом строки i матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, и определим ^(i) как индекс строки, которой предшествует префикс s[ki + 1, n - 1]. | ||
Например, на рис. 1 это будет "^(2) = 7, поскольку строка 2 матрицы M имеет префикс ippi, а строка 7 – ppi. Отметим, что ^(i) не определено для i = 0, поскольку у строки 0 не имеется надлежащего суффикса s.1 | Например, на рис. 1 это будет "^(2) = 7, поскольку строка 2 матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> имеет префикс ippi, а строка 7 – ppi. Отметим, что ^(i) не определено для i = 0, поскольку у строки 0 не имеется надлежащего суффикса s.1 | ||
| Строка 104: | Строка 104: | ||
'''Теорема 6. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом S константного размера. Строка s = bwt(s) может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.''' | '''Теорема 6. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом S константного размера. Строка s = bwt(s) может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.''' | ||
Доказательство. Суффиксный массив строки s можно вычислить за время O(n) с использованием O(nlog n) ) бит рабочего пространства при помощи, например, алгоритма из [ ]. Суффиксный массив представляет собой строку целых чисел sa[1, n], такую, что для i = 1, ... , n значением s[sa[i], n - 1] является i-й суффикс s в лексикографическом порядке. Поскольку префиксом каждой строки матрицы M является уникальный суффикс s, за которым идет специальным символ $, суффиксный массив обеспечивает упорядочение строк в M. Следовательно, bwt(s) можно вычислить из sa за линейное время при помощи процедуры sa2bwt на рис. 2. □ | Доказательство. Суффиксный массив строки s можно вычислить за время O(n) с использованием O(nlog n) ) бит рабочего пространства при помощи, например, алгоритма из [ ]. Суффиксный массив представляет собой строку целых чисел sa[1, n], такую, что для i = 1, ... , n значением s[sa[i], n - 1] является i-й суффикс s в лексикографическом порядке. Поскольку префиксом каждой строки матрицы <math>\mathcal{M} \;</math> является уникальный суффикс s, за которым идет специальным символ $, суффиксный массив обеспечивает упорядочение строк в <math>\mathcal{M} \;</math>. Следовательно, bwt(s) можно вычислить из sa за линейное время при помощи процедуры sa2bwt на рис. 2. □ | ||
'''Теорема 7. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом S константного размера. При наличии bwt(s) строка s может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.''' | '''Теорема 7. Пусть s[1, n] – строка над алфавитом S константного размера. При наличии bwt(s) строка s может быть вычислена за время O(n) с использованием O(n log n) бит рабочего пространства.''' | ||
Доказательство. Алгоритм вычисления s практически дословно воспроизводить процедуру, вкратце описанную в доказательстве теоремы 5. Единственное отличие заключается в том, что для большей эффективности все значения отображения 4> вычисляются за один проход. Это выполняется при помощи процедуры bwt2psi на рис. 2. Вместо работы со столбцом F процедура bwt2psi использует счетчик массива, представляющий собой «компактное» представление F. В момент начала работы процедуры для любого символа c 2 E счетчик count[c] выдает индекс первой строки матрицы M, префиксом которой является c. Например, на рис. 1 count[i] = 1, count[m] = 5 и т.д. В основной части процедуры bwt2psi с циклом сканируется счетчик массива bwt, и значение count[c] увеличивается каждый раз при обнаружении вхождения символа c (строка 6). Строка 6 также присваивает переменной h индекс l-го вхождения элемента c в F. Согласно лемме 3, строка 7 корректно сохраняет в psi [h] значение i = Ф(И). После вычисления массива psi строка s восстанавливается при помощи процедуры psi2text на рис. 2, корректность которой непосредственно следует из теоремы 5. | Доказательство. Алгоритм вычисления s практически дословно воспроизводить процедуру, вкратце описанную в доказательстве теоремы 5. Единственное отличие заключается в том, что для большей эффективности все значения отображения 4> вычисляются за один проход. Это выполняется при помощи процедуры bwt2psi на рис. 2. Вместо работы со столбцом F процедура bwt2psi использует счетчик массива, представляющий собой «компактное» представление F. В момент начала работы процедуры для любого символа c 2 E счетчик count[c] выдает индекс первой строки матрицы <math>\mathcal{M} \;</math>, префиксом которой является c. Например, на рис. 1 count[i] = 1, count[m] = 5 и т.д. В основной части процедуры bwt2psi с циклом сканируется счетчик массива bwt, и значение count[c] увеличивается каждый раз при обнаружении вхождения символа c (строка 6). Строка 6 также присваивает переменной h индекс l-го вхождения элемента c в F. Согласно лемме 3, строка 7 корректно сохраняет в psi [h] значение i = Ф(И). После вычисления массива psi строка s восстанавливается при помощи процедуры psi2text на рис. 2, корректность которой непосредственно следует из теоремы 5. | ||
