Минимальные k-связные геометрические сети: различия между версиями

Теорема 4 ([5, 6]). Пусть k и d – любые целые числа, <math>k, d \ge 2 \;</math>, а <math>\varepsilon \;</math> – любое положительное вещественное число. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>. Существует рандомизированный алгоритм, который за время <math>n \cdot (log \; n)^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}} \cdot 2^{2^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}}}</math> с вероятностью не менее 0,99 находит k-вершинно-связную (или k-реберно-связную) остовную сеть для S, стоимость которой не более чем в (1 + ") раз превышает оптимальную.

Кроме того, этот алгоритм может быть дерандомизирован за полиномиальное время с тем, чтобы возвращать k-вершинно-связную (или k-реберно-связную) остовную сеть для S, стоимость которой не более чем в (1 + ") раз превышает оптимальную.

Теорема 6 ([5]). Пусть k и d – любые целые числа, d > 2, а " – любое положительное вещественное число. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>. Существует рандомизированный алгоритм, который за время <math>n \cdot (log \; n)^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}} \cdot 2^{2^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}}}</math> с вероятностью не менее 0,99 находит k-реберно-связную остовную мультисеть для S, стоимость которой не более чем в (1 + ") раз превышает оптимальную. Этот алгоритм может быть дерандомизирован за полиномиальное время.

Теорема 7 (Схемы аппроксимации для 2-связных графов, [5]). Пусть d – любое целое число, d > 2, а " – любое положительное вещественное число. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>. Существует рандомизированный алгоритм, который за время <math>n \cdot (log \; n)^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}} \cdot 2^{2^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}}}</math> с вероятностью не менее 0,99 находит 2-вершинно-связную (или 2-реберно-связную) остовную сеть для S, стоимость которой не более чем в (1 + ") раз превышает оптимальную. Этот алгоритм может быть дерандомизирован за полиномиальное время.

Теорема 8 ([7]). Пусть d – любое целое число, d > 2, а " – любое положительное вещественное число. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>. Существует рандомизированный алгоритм, который за время <math>n \cdot (log \; n)^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}} \cdot 2^{2^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}}}</math> с вероятностью не менее 0,99 находит 2-вершинно-связную (или 2-реберно-связную) остовную сеть Штейнера для S, стоимость которой не более чем в (1 + ") раз превышает оптимальную. Этот алгоритм может быть дерандомизирован за полиномиальное время.

Теорема 9 ([7]). Пусть d – любое целое число, d > 2, а " – любое положительное вещественное число. Пусть S – множество из n точек в пространстве <math>\mathbb{R}^d \;</math>. Существует рандомизированный алгоритм, который за время <math>n \cdot (log \; n)^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}} \cdot 2^{2^{(kd / \varepsilon)^{O(d)}}}</math> с вероятностью не менее 0,99 находит (1 + ")-аппроксимацию геометрической сети с повышенной живучестью с rv 2 f0; 1; 2g для любого v 2 V. Этот алгоритм может быть дерандомизирован за полиномиальное время.