Произведение графов: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 1: Строка 1:
'''Произведение графов''' (''[[Product of graphs]]'') -
'''Произведение графов''' (''[[Product of graphs]]'')
для данных [[граф|графов]] <math>G_{1} = (V_{1}, E_{1})</math> и <math>G_{2} = (V_{2}, E_{2})</math>
для данных [[граф|графов]] <math>\,G_{1} = (V_{1}, E_{1})</math> и <math>\,G_{2} = (V_{2}, E_{2})</math> произведением  называется граф <math>\,G = (V,E)</math>, [[вершина|вершины]] которого <math>V(G) = V_{1} \times V_{2}</math> декартово произведение
произведением  называется граф <math>G = (V,E)</math>, [[вершина|вершины]] которого
<math>V(G) = V_{1} \times V_{2}</math>--- декартово произведение
множеств вершин исходных графов.
множеств вершин исходных графов.


''Декартово'' произведение <math>G =
''Декартово'' произведение <math>G = G_{1} \Box G_{2}</math> содержит [[ребро|ребра]]  
G_{1} \Box G_{2}</math>содержит [[ребро|ребра]]  


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Box G_{2})</math>  
E(G_{1} \Box G_{2})</math>  


тогда и только тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in
тогда и только тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> и <math>\,x^{2} = y^{2}</math> или <math>\,x^{1} = y^{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2}.</math>
E_{1}</math>и <math>x^{2} = y^{2}</math>или <math>x^{1} = y^{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in
E_{2}.</math>


''Прямое (тензорное)'' произведение <math>G = G_{1} \times G_{2}</math>
''Прямое (тензорное)'' произведение <math>G = G_{1} \times G_{2}</math> содержит ребра
содержит ребра


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \times G_{2})</math>  
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \times G_{2})</math>  


тогда и
тогда и только тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in
только тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in
E^{2}.</math>
E^{2}.</math>


''Сильное'' произведение <math>G = G_{1} \otimes G_{2}</math>содержит
''Сильное'' произведение <math>G = G_{1} \otimes G_{2}</math> содержит все ребра
все ребра


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \otimes G_{2}),</math>  
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \otimes G_{2}),</math>  


которые
которые есть и в декартовом, и в тензорном произведениях.
есть и в декартовом, и в тензорном произведениях.


''Композиция''
''Композиция''
<math>G_{1}[G_{2}]</math>графов содержит ребра
<math>\,G_{1}[G_{2}]</math> графов содержит ребра


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1}[G_{2}])</math>  
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1}[G_{2}])</math>  


тогда и только
тогда и только тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> или <math>x^{1} = y^{1}</math>
тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>или <math>x^{1} = y^{1}</math>
и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2}.</math>
и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2}.</math>


''Модульное'' произведение <math>G_{1} \diamondsuit G_{2}</math>содержит ребра
''Модульное'' произведение <math>G_{1} \diamondsuit G_{2}</math> содержит ребра


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \diamondsuit G_{2})</math> тогда и
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \diamondsuit G_{2})</math>  


только тогда, когда <math>x^{1} \neq y^{1}</math> <math> x^{2} \neq y^{2}</math>и либо
тогда и только тогда, когда <math>x^{1} \neq y^{1}</math> <math> x^{2} \neq y^{2}</math> и либо
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math>либо
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math> либо
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}</math>и <math>(x^{2},y^{2}) \not \in E_{2}.</math>
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \not \in E_{2}.</math>


''Большое модульное'' произведение <math>G_{1} \Diamond G_{2}</math>содержит
''Большое модульное'' произведение <math>G_{1} \Diamond G_{2}</math> содержит
ребра
ребра


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Diamond G_{2})</math>  
:::<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Diamond G_{2})</math>  


тогда и
тогда и только тогда, когда <math>x^{1} \neq y^{1}</math> <math>x^{2} \neq y^{2}</math> и либо
только тогда, когда
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math> и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math> либо
<math>x^{1} \neq y^{1}</math> <math>x^{2} \neq y^{2}</math>и либо
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math>либо
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}.</math>
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}.</math>




==См. также ==
==См. также ==
''[[Декартово произведение графов]]''.
* ''[[Декартово произведение графов]]''.
==Литература==
==Литература==
[Berge],  
* Берж К. Теория графов и ее применения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.


[Берж],  
* Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990.


[Оре],  
* Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968.


[Харари],  
* Харари Ф. Теория графов. —  М.: Мир, 1973.


[Лекции],  
* Berge C. Graphs (second revised edition). — Amsterdam; New York; Oxford: North-Holland, 1985.
 
[Bondy-Murty]
* Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory with applications. —  New York; Amsterdam; Oxford: North-Holland, 1976.

Версия от 12:41, 8 июля 2011

Произведение графов (Product of graphs) — для данных графов [math]\displaystyle{ \,G_{1} = (V_{1}, E_{1}) }[/math] и [math]\displaystyle{ \,G_{2} = (V_{2}, E_{2}) }[/math] произведением называется граф [math]\displaystyle{ \,G = (V,E) }[/math], вершины которого [math]\displaystyle{ V(G) = V_{1} \times V_{2} }[/math] — декартово произведение множеств вершин исходных графов.

Декартово произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \Box G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Box G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \,x^{2} = y^{2} }[/math] или [math]\displaystyle{ \,x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math]

Прямое (тензорное) произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \times G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \times G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E^{2}. }[/math]

Сильное произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \otimes G_{2} }[/math] содержит все ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \otimes G_{2}), }[/math]

которые есть и в декартовом, и в тензорном произведениях.

Композиция [math]\displaystyle{ \,G_{1}[G_{2}] }[/math] графов содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1}[G_{2}]) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] или [math]\displaystyle{ x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math]

Модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \diamondsuit G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \diamondsuit G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math] и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math] либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \not \in E_{2}. }[/math]

Большое модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \Diamond G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Diamond G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math] и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math] либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1}. }[/math]


См. также

Литература

  • Берж К. Теория графов и ее применения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
  • Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990.
  • Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968.
  • Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.
  • Berge C. Graphs (second revised edition). — Amsterdam; New York; Oxford: North-Holland, 1985.
  • Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory with applications. — New York; Amsterdam; Oxford: North-Holland, 1976.