Критический диапазон для беспроводных сетей: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
Согласно этой теореме, вероятность события, заключающегося в том, что в графе нет изолированных вершин, асимптотически равна <math>exp \big( - e^{- \xi} \big) \;</math>. По утверждению теории случайных геометрических графов, в графе нет изолированных вершин, он почти наверное является связным. Из этого следует формулировка теоремы 2 [6, 8, 9]. | Согласно этой теореме, вероятность события, заключающегося в том, что в графе нет изолированных вершин, асимптотически равна <math>exp \big( - e^{- \xi} \big) \;</math>. По утверждению теории случайных геометрических графов, в графе нет изолированных вершин, он почти наверное является связным. Из этого следует формулировка теоремы 2 [6, 8, 9]. | ||
''' | |||
Теорема 2. Пусть <math>r_n = \sqrt { \frac{ln \; n + \xi}{\pi \; n} }</math>, а <math>\Omega \;</math> – круг или квадрат единичной площади. Тогда:''' | '''Теорема 2. Пусть <math>r_n = \sqrt { \frac{ln \; n + \xi}{\pi \; n} }</math>, а <math>\Omega \;</math> – круг или квадрат единичной площади. Тогда:''' | ||
<math>Pr[G_r(\mathcal{X}_n (\Omega))</math> является связным <math>] \to exp(-e^{- \xi})</math> и | <math>Pr[G_r(\mathcal{X}_n (\Omega))</math> является связным <math>] \to exp(-e^{- \xi})</math> и | ||
| Строка 53: | Строка 53: | ||
Теорема 3. Положим <math>r_n = \sqrt{\frac{ln \; n + (2k + 1) ln \; ln \; n + \xi_n}{\pi \; n}}</math>. Если <math>lim_{n \to \infty} \xi_n = \xi \;</math> для некоторого <math>\xi \in \mathbb{R} \;</math>, то | '''Теорема 3. Положим <math>r_n = \sqrt{\frac{ln \; n + (2k + 1) ln \; ln \; n + \xi_n}{\pi \; n}}</math>. Если <math>lim_{n \to \infty} \xi_n = \xi \;</math> для некоторого <math>\xi \in \mathbb{R} \;</math>, то''' | ||
<math>1 - \beta(\xi) \le lim_{n \to \infty} Pr[C_{n, r_n}] \le \frac{1}{1 + \alpha(\xi)} \;</math> и | <math>1 - \beta(\xi) \le lim_{n \to \infty} Pr[C_{n, r_n}] \le \frac{1}{1 + \alpha(\xi)} \;</math> и | ||
| Строка 64: | Строка 64: | ||
Теорема 4. Пусть <math>\mu (s) = ln \; s + 2 (k + 1) \; ln \; ln \; s + \xi(s)</math>. Если <math>lim_{s \to \infty} \xi(s) = \xi \;</math> для некоторого <math>\xi \in \mathbb{R} \;</math>, то | '''Теорема 4. Пусть <math>\mu (s) = ln \; s + 2 (k + 1) \; ln \; ln \; s + \xi(s)</math>. Если <math>lim_{s \to \infty} \xi(s) = \xi \;</math> для некоторого <math>\xi \in \mathbb{R} \;</math>, то''' | ||
<math>1 - \beta(\xi) \le lim_{s \to \infty} Pr[K_{s, \mu(s)s}] \le \frac{1}{1 + \alpha(\xi)}</math> и | <math>1 - \beta(\xi) \le lim_{s \to \infty} Pr[K_{s, \mu(s)s}] \le \frac{1}{1 + \alpha(\xi)}</math> и | ||
| Строка 76: | Строка 76: | ||
В графах Гэбриэла (Gabriel graphs, GG) между двумя вершинами существует ребро в том и только том случае, если не существует другой вершины в круге, диаметром которого является сегмент двух этих вершин. Пусть V – множество точек, а l – положительное вещественное число. Обозначим за | В графах Гэбриэла (Gabriel graphs, GG) между двумя вершинами существует ребро в том и только том случае, если не существует другой вершины в круге, диаметром которого является сегмент двух этих вершин. Пусть V – множество точек, а ''l'' – положительное вещественное число. Обозначим за <math>\rho_{GG} (V) \;</math> длину наибольшего ребра графа GG над множеством V, а за N (V, ''l'') – количество ребер GG над V, имеющих длину не менее l. Ван и И (2007) [ ] доказали следующую теорему. | ||
Теорема 5. Пусть | '''Теорема 5. Пусть <math>\Omega \;</math> – диск единичной площади. Для любой константы <math>\xi \;</math> значение <math>N \bigg( \mathcal{P}_n (\Omega), 2 \sqrt{ \frac{ln \; n + \xi}{\pi n}} \bigg)</math> является асимптотически пуассоновским со средним <math>2 e^{- \xi} \;</math> и''' | ||