Коды Прюфера: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 6: Строка 6:
Пусть T - дерево с множеством вершин <math>\{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\}</math>. Будем считать, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>. Сопоставим дереву T последовательность <math>[a_1, a_2, ... , a_{n-2}]</math> называемую кодом Прюфера, по следующему правилу:
Пусть T - дерево с множеством вершин <math>\{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\}</math>. Будем считать, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>. Сопоставим дереву T последовательность <math>[a_1, a_2, ... , a_{n-2}]</math> называемую кодом Прюфера, по следующему правилу:


     '''функ''' КОД_ПРЮФЕРА(''' T дерево''') =
     '''функ''' КОД_ПРЮФЕРА(''T'': '''дерево''') =
     1.Пусть n - число вершин в ''T'', а ''A'' - Целочисленный вектор длины ''n''-2;
     1.   Пусть n - число вершин в ''T'', а A - целочисленный вектор длины ''n''-2;
     2.    B:= [1 ; n];
     2.    B:= [1 : n];
     3.    для ''i'' от ''1'' до ''n-1'' цикл
     3.    '''для''' ''i'' '''от''' ''1'' '''до''' ''n-2'' '''цикл'''
     4.        b:=min{k ∈ B; k - номер висячей вершины};
     4.        b:=min{k ∈ B; k - номер висячей вершины};
     5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
     5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
     6.        B:=B-{b};
     6.        B:=B-{b};
     7.        Удалить из ''T'' вершину с номером b
     7.        Удалить из ''T'' вершину с номером b
           всё
           '''всё'''
     8    возврат A
     8    '''возврат''' A
     всё
     '''всё'''


Рассмотрим седующий пример. Для дерева ''T'' (рис.) код Прюфера имеет вид:
Рассмотрим седующий пример. Для дерева ''T'' (рис.) код Прюфера имеет вид:
Строка 27: Строка 27:
Распаковка кода  Прюфера осуществляется следующим образом:
Распаковка кода  Прюфера осуществляется следующим образом:


     '''функ''' РАСПАКОВКА (A: ''код'')=
     '''функ''' РАСПАКОВКА (A: '''код''')=
     1.    Пусть ''T'' состоит из вершин <math>\{\nu_1, \nu_2, ... , \nu_n\}</math> таких, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>, где n - длина кода A плюс 2;
     1.    Пусть ''T'' состоит из вершин <math>\{\nu_1, \nu_2, ... , \nu_n\}</math> таких, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>,где n - длина кода A плюс 2;
     2.     B: = [1 ; n];
     2.   B: = [1 : n];
     3.     для i от n+1 цикл
     3.   '''для''' i '''от''' 1 '''до''' n+1 '''цикл'''
     4.        b:=min{k ∈ B ; k <math>\neq</math> A[j] для любого j <math>\geq</math> i};
     4.        b:=min{k ∈ B ; k <math>\neq</math> A[j] для любого j <math>\geq</math> i};
     5.        В <math>T</math> добавить ребро, соединяющее вершины с номерами <math>b</math> и <math>A[i]</math>;
     5.        В <math>T</math> добавить ребро, соединяющее вершины с номерами <math>b</math> и <math>A[i]</math>;
     6.        B:=B-{b}
     6.        B:=B-{b}
          всё;
          '''всё;'''
     7.     возврат T
     7.   '''возврат''' ''T''
     всё
     всё



Версия от 17:28, 30 мая 2017

Код Прюфера - Представление с помощью списка рёбер и кода Прюфера. Дерево при этом способе задаётся перечислением пар [math]\displaystyle{ \lt \nu_i, \nu_j\gt }[/math] или троек [math]\displaystyle{ \lt \nu_i, \nu_j, u_k\gt }[/math], если дополнительно нужна нумерация рёбер. Характер связей в списке определяется исходя из условий задачи. Например, для дерева T(см.рис X1) имеем

[math]\displaystyle{ T = \{\lt 1, 4\gt , \lt 2, 4\gt , \lt 3,4\gt ,\lt 4,5\gt , \lt 5,6\gt , \lt 5,7\gt , \lt 7,8\gt ,\lt 7,9\gt \} }[/math]

Пусть T - дерево с множеством вершин [math]\displaystyle{ \{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\} }[/math]. Будем считать, что номер вершины [math]\displaystyle{ \nu_i }[/math] равен [math]\displaystyle{ i }[/math]. Сопоставим дереву T последовательность [math]\displaystyle{ [a_1, a_2, ... , a_{n-2}] }[/math] называемую кодом Прюфера, по следующему правилу:

   функ КОД_ПРЮФЕРА(T: дерево) =
   1.    Пусть n - число вершин в T, а A - целочисленный вектор длины n-2;
   2.    B:= [1 : n];
   3.    для i от 1 до n-2 цикл
   4.        b:=min{k ∈ B; k - номер висячей вершины};
   5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
   6.        B:=B-{b};
   7.        Удалить из T вершину с номером b
         всё
   8     возврат A
   всё

Рассмотрим седующий пример. Для дерева T (рис.) код Прюфера имеет вид:

[math]\displaystyle{ P_2(T) }[/math] = [2, 5, 5, 2, 1, 3, 3].

Prufer 1.gif


Распаковка кода Прюфера осуществляется следующим образом:

   функ РАСПАКОВКА (A: код)=
   1.    Пусть T состоит из вершин [math]\displaystyle{ \{\nu_1, \nu_2, ... , \nu_n\} }[/math] таких, что номер вершины [math]\displaystyle{ \nu_i }[/math] равен [math]\displaystyle{ i }[/math],где n - длина кода A плюс 2;
   2.    B: = [1 : n];
   3.    для i от 1 до n+1 цикл
   4.        b:=min{k ∈ B ; k [math]\displaystyle{ \neq }[/math] A[j] для любого j [math]\displaystyle{ \geq }[/math] i};
   5.        В [math]\displaystyle{ T }[/math] добавить ребро, соединяющее вершины с номерами [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ A[i] }[/math];
   6.        B:=B-{b}
         всё;
   7.    возврат T
   всё

В случае корневого ордерева процедуры построения кода Прюфера и его распаковки аналогичны. Необходимо только на последнем месте в [math]\displaystyle{ A }[/math] указывать корневую вершину и при распаковке кода [math]\displaystyle{ A }[/math] исключать номер этой вершины из множества [math]\displaystyle{ B }[/math].

Операции над деревьями и кодами Прюфера

Будем считать, что вершины двух разных деревьев нумеруются различными числами, причём номера одного дерева всегда больше или меньше любого номера другого. Это требование часто выполняется в практических реализациях, т.к для вершин каждого дерева обычно отводят последовательные массивы номеров ячеек памяти. Если все номера дерева [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] (или ориентированного дерева [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]) меньше всех номерова дерева [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math]) то пишут [math]\displaystyle{ T_1 }[/math]<[math]\displaystyle{ T_2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]<[math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math]).

Рассмотрим следующие операции над деревьями:

[math]\displaystyle{ \overset{a}{\underset{b}{\downarrow}} }[/math] - операция замены номера a вершины T на номер b;

[math]\displaystyle{ a \overset{0}{\rightarrow} b }[/math] - операция склеивания двух деревьев по вершинам a и b, т.е. дерево [math]\displaystyle{ T_1 a \overset{0}{\rightarrow} b T_2 }[/math] получается из [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] отождествлением вершин a из [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] b из [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] и присвоением склеенной вершине номера b (при склеивании ордеревьев добавляется требование, чтобы вершина b была корневой).

На рис 2.22 представлен результат выполнения операции [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} 3 \overset{0}{\rightarrow} 10 T_2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math] - деревья, изображённые на рис. 2.20 и 2.21.

Рассмотрим некоторые вставки кода Прюфера: [] - операция формального отбрасывания квадратных скобок; определена на всех выражениях вида [math]\displaystyle{ [a_1, a_2, ..., a_n],b,[b_1, b_2, ..., b_m] }[/math] и состоит в отбрасывании всех внутренних квадратных скобок и добавлении двух внешних;

[math]\displaystyle{ \stackrel{*}{c} }[/math] -операция вставки кода Прюфера; если


[math]\displaystyle{ P_2(\overrightarrow{T_1}) = [a_1, a_2, ... , a_k, c, a_{k+2}, ..., a_{n-1}] }[/math]

и среди чисел [math]\displaystyle{ a_{k+2}, a_{k+3}, a_{n-1} }[/math] нет числа c, то

[math]\displaystyle{ P_2(\overrightarrow{T_1})\stackrel{*}{c}P_2(\overrightarrow{T_2}) = [a_1, a_2, ... , a_k, P_2(\overrightarrow{T_2}),c, a_{k+2}, ..., a_{n-1}] }[/math].

Справедливы следующие соотношения, связывающие операции над деревьями и кодами Прюфера:

если [math]\displaystyle{ T_1 \lt T_2 }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}T_1),b, P_2(T_2)]; }[/math]

если [math]\displaystyle{ T_1 \gt T_2 }[/math], то необходимо рассматривать дерево [math]\displaystyle{ T_1b \overset{0}{\rightarrow} aT_2 }[/math], и всё сводится к предыдущему случаю;

если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} \lt \overrightarrow{T_2} }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1}),\stackrel{*}{c}, P_2(\overrightarrow{T_2})] }[/math],

где [math]\displaystyle{ c }[/math] - непосредственный предок вершины [math]\displaystyle{ a }[/math] в дереве [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]


если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} \gt \overrightarrow{T_2} }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overrightarrow{T_2}), P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1})] }[/math],