4446
правок
Алгоритмическое охлаждение: различия между версиями
Материал из WEGA
м
→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 86: | Строка 86: | ||
'''Практическое алгоритмическое охлаждение''' | '''Практическое алгоритмическое охлаждение''' | ||
Концепция алгоритмического охлаждения привела к созданию практически применимых алгоритмов [8] для охлаждения небольших молекул. Чтобы увидеть влияние практического алгоритмического охлаждения, лучше всего использовать другой вариант энтропийного предела. Рассмотрим систему, содержащую n частиц с полуцелыми спинами с суммарной энтропией, превышающей n - 1, так что нет возможности охладить даже один спин до нулевой температуры. В этом случае энтропийный предел является результатом сжатия энтропии в n - 1 полностью случайных спинов, так что оставшаяся на последнем спине энтропия минимальна. Энтропия оставшегося одиночного спина удовлетворяет соотношению H(single) | Концепция алгоритмического охлаждения привела к созданию практически применимых алгоритмов [8] для охлаждения ''небольших молекул''. Чтобы увидеть влияние практического алгоритмического охлаждения, лучше всего использовать другой вариант энтропийного предела. Рассмотрим систему, содержащую n частиц с полуцелыми спинами с суммарной энтропией, превышающей <math>n - 1</math>, так что нет возможности охладить даже один спин до нулевой температуры. В этом случае энтропийный предел является результатом сжатия энтропии в <math>n - 1</math> полностью случайных спинов, так что оставшаяся на последнем спине энтропия минимальна. Энтропия оставшегося одиночного спина удовлетворяет соотношению <math>H(single) \ge 1 - n \epsilon^2 / ln \; 4</math>, поэтому его поляризация может быть улучшена, самое большее, до | ||
(3) <math>\epsilon_{final} \le \sqrt{n}</math> | |||
Практичное алгоритмическое охлаждение (PAC), предложенное Фернандесом, Ллойдом, Мором и Ройчоудхури в [8], показало потенциал для применения в ЯМР-спектроскопии в ближайшем будущем. В частности, авторы представили алгоритм под названием PAC2, который использует любое (нечетное) число спинов n, такое, что один из них является сбрасывающим спином, а (n - 1) – вычислительными. Алгоритм PAC2 охлаждает спины так, что самый холодный из них может (приблизительно) достичь усиления смещения в <math>(3/2)^{(n - 1)/2}</math> раз. Приближение справедливо до тех пор, пока конечное смещение <math>(3/2)^{(n - 1)/2} \epsilon</math> много меньше 1. В противном случае необходимо проводить более точную обработку. Это доказывает экспоненциальное преимущество алгоритмического охлаждения перед наилучшим возможным обратимым вариантом алгоритмического охлаждения, поскольку такие обратимые методы охлаждения, например, из [13, 14], ограничены улучшением смещения не более чем в <math>\sqrt{n}</math> раз. PAC можно применять при малых n (например, в диапазоне 10-20), и поэтому он потенциально подходит для перспективного применения [6, 8, 10] в химической и медико-биологической ЯМР-спектроскопии. | |||
Важно отметить, что в типичных сценариях начальное поляризационное смещение сбрасывающего спина выше, чем у вычислительного. В этом случае коэффициент усиления смещения (3/2)( | |||
Важно отметить, что в типичных сценариях начальное поляризационное смещение сбрасывающего спина выше, чем у вычислительного. В этом случае коэффициент усиления смещения <math>(3/2)^{(n - 1)/2}</math> относится к большему смещению сбрасывающего спина. | |||
'''Исчерпывающее алгоритмическое охлаждение''' | '''Исчерпывающее алгоритмическое охлаждение''' | ||
Далее был проанализирован алгоритм охлаждения, в котором этапы охлаждения (сброс и обратимое поляризационное сжатие) повторяются произвольное число раз. Фактически это идеализация, когда неограниченное число шагов сброса и логики может быть применено без ошибок или рассогласования, а вычислительные кубиты не теряют своих поляризационных смещений. Фернандес [ ] рассмотрел два вычислительных спина и один сбрасываемый спин (наименьший значащий бит, а именно кубит с правой стороны в нотации матрицы плотности тензорного произведения) и проанализировал оптимальное охлаждение этой системы. Исчерпывающим образом повторяя сброс и сжатие, он обнаружилл, что граница конечных смещений трех спинов приблизительно равна {2, 1, 1} в единицах | Далее был проанализирован алгоритм охлаждения, в котором этапы охлаждения (сброс и обратимое поляризационное сжатие) повторяются произвольное число раз. Фактически это идеализация, когда неограниченное число шагов сброса и логики может быть применено без ошибок или рассогласования, а вычислительные кубиты не теряют своих поляризационных смещений. Фернандес [7] рассмотрел два вычислительных спина и один сбрасываемый спин (наименьший значащий бит, а именно кубит с правой стороны в нотации матрицы плотности тензорного произведения) и проанализировал оптимальное охлаждение этой системы. Исчерпывающим образом повторяя сброс и сжатие, он обнаружилл, что граница конечных смещений трех спинов приблизительно равна {2, 1, 1} в единицах <math>\epsilon</math> – поляризационного смещения сбрасывающего спина. | ||
Мор и Вайнштейн обобщили этот анализ и обнаружили, что n - 1 вычислительных спинов и один сбрасывающий спин могут быть охлаждены (приблизительно) до смещений в соответствии с рядом Фибоначчи: {... 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1}. Вычислительный спин, наиболее удаленный от сбрасывающего спина, может быть охлажден до соответствующего числа Фибоначчи Fn. Это приближение справедливо до тех пор, пока наибольший член, кратный e, все еще намного меньше 1. Затем Шульман предложил «алгоритм сопряжения партнеров» (PPA) и доказал оптимальность PPA среди всех классических и квантовых алгоритмов. Эти два алгоритма, Фибоначчи-охлаждение и PPA, стали основной для двух совместных работ [11, 12], где также были получены верхние и нижние границы для алгоритмического охлаждения. Алгоритм сопряжения партнеров. определяется следующим образом. Повторяйте эти два шага, пока охлаждение не будет достаточно близким к пределу: (а) RESET – применяется к сбрасывающему спину в системе, содержащей n - 1 вычислительных спинов и один (LSB) сбрасывающий. (b) SORT – перестановка, сортирующая 2n диагональных элементов матрицы плотности по убыванию, так что спин MSB становится самым холодным. В работе [12] доказаны две важные теоремы: 1. Нижняя граница когда e2" 2> 1 (а именно, для достаточно длинных молекул), теорема 3 из [ ] обещает, что может быть извлечено n - log(l/e) холодных кубитов. Этот случай актуален для масштабируемых квантовых вычислений на базе ЯМР. 2. Верхняя граница: в разделе 4.2 работы [12] доказывается следующая теорема: Ни один алгоритмический метод охлаждения не может увеличить вероятность любого базисного состояния выше min{2~" e2"€; 1g, если начальная конфигурация – полностью смешанное состояние (то же самое верно, если начальное состояние – тепловое состояние). | Мор и Вайнштейн обобщили этот анализ и обнаружили, что n - 1 вычислительных спинов и один сбрасывающий спин могут быть охлаждены (приблизительно) до смещений в соответствии с рядом Фибоначчи: {... 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1}. Вычислительный спин, наиболее удаленный от сбрасывающего спина, может быть охлажден до соответствующего числа Фибоначчи Fn. Это приближение справедливо до тех пор, пока наибольший член, кратный e, все еще намного меньше 1. Затем Шульман предложил «алгоритм сопряжения партнеров» (PPA) и доказал оптимальность PPA среди всех ''классических и квантовых'' алгоритмов. Эти два алгоритма, Фибоначчи-охлаждение и PPA, стали основной для двух совместных работ [11, 12], где также были получены верхние и нижние границы для алгоритмического охлаждения. Алгоритм сопряжения партнеров. определяется следующим образом. Повторяйте эти два шага, пока охлаждение не будет достаточно близким к пределу: (а) RESET – применяется к сбрасывающему спину в системе, содержащей n - 1 вычислительных спинов и один (LSB) сбрасывающий. (b) SORT – перестановка, сортирующая 2n диагональных элементов матрицы плотности по убыванию, так что спин MSB становится самым холодным. В работе [12] доказаны две важные теоремы: 1. Нижняя граница когда e2" 2> 1 (а именно, для достаточно длинных молекул), теорема 3 из [ ] обещает, что может быть извлечено n - log(l/e) холодных кубитов. Этот случай актуален для масштабируемых квантовых вычислений на базе ЯМР. 2. Верхняя граница: в разделе 4.2 работы [12] доказывается следующая теорема: Ни один алгоритмический метод охлаждения не может увеличить вероятность любого базисного состояния выше min{2~" e2"€; 1g, если начальная конфигурация – полностью смешанное состояние (то же самое верно, если начальное состояние – тепловое состояние). | ||
