Независимые множества матроида: различия между версиями

Материал из WEGA
Нет описания правки
Нет описания правки
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
'''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'') -
'''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'')
семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>E</math>, удовлетворяющих
семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>\,E</math>, удовлетворяющих
следующим аксиомам:
следующим аксиомам:


Строка 7: Строка 7:
(I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>;
(I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>;


(I2) если <math>X, \, Y</math> --- элементы из <math>{\mathcal I}</math> такие, что <math>|X| = |Y| +
(I2) если <math>X, \, Y</math> элементы из <math>{\mathcal I}</math> такие, что <math>\,|X| = |Y| +
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in
{\mathcal I}</math>.
{\mathcal I}</math>.


Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется {\it
Подмножество из <math>\,E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется  
зависимым}.
''зависимым''.


Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять
Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять
Строка 18: Строка 18:
эквивалентные (I2):
эквивалентные (I2):


(I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math>
(I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>\,|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math>
существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>.
существует элемент <math>\,x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>.


(I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X</math> существует
(I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>\,|Y| < |X|</math>, то в <math>\,X</math> существует
такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| =
такое подмножество <math>\,Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| =
|X|</math>.
|X|</math>.
==Литература==
==Литература==
[Лекции],  
* Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990.
 
[Welsh]
* Welsh D.J.A. Matroid Theory. —  New York: Academic Press, 1976.

Текущая версия от 16:09, 17 мая 2011

Независимые множества матроида (Independent sets of a matroid) — семейство [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] подмножеств элементов из [math]\displaystyle{ \,E }[/math], удовлетворяющих следующим аксиомам:

(I0) [math]\displaystyle{ \emptyset \in {\mathcal I} }[/math];

(I1) если [math]\displaystyle{ X \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math], то [math]\displaystyle{ Y \in {\mathcal I} }[/math];

(I2) если [math]\displaystyle{ X, \, Y }[/math] — элементы из [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ \,|X| = |Y| + 1 }[/math], то существует [math]\displaystyle{ x \in X \setminus Y }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].

Подмножество из [math]\displaystyle{ \,E }[/math], не принадлежащее [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math], называется зависимым.

Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять (I1) (I2). Кроме того, существуют варианты аксиомы (I'2), (I2), эквивалентные (I2):

(I'2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ \,|Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X \setminus Y }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ \,x }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].

(I"2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ \,|Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ \,X }[/math] существует такое подмножество [math]\displaystyle{ \,Z }[/math], что [math]\displaystyle{ Y \cup Z \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y \cup Z| = |X| }[/math].

Литература

  • Лекции по теории графов / В.А.Емеличев, О.И.Мельников, В.И.Сарванов, Р.И.Тышкевич. — М.: Наука, 1990.
  • Welsh D.J.A. Matroid Theory. — New York: Academic Press, 1976.