4194
правки
Древесная ширина графа: различия между версиями
Материал из WEGA
нет описания правки
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Древесная ширина графа''' (''[[Treewidth of a graph]]'') | '''Древесная ширина графа''' (''[[Treewidth of a graph]]'') — для заданного [[граф|графа]] <math>G = (V,E)</math> ''[[древесная декомпозиция|древесной декомпозицией]]'' называется пара <math>(\{X_{i}| \, i \in I\}, T = (I,F))</math>, где <math>\{X_{i} | \, i \in I\}</math> — семейство | ||
подмножеств <math>V</math> и <math>T</math> | подмножеств <math>V</math> и <math>T</math> — [[дерево]] с множеством [[вершина|вершин]] <math>I</math> и множеством [[ребро|ребер]] <math>F \subseteq I \times I</math> такими, что | ||
1) <math>\cup_{i \in I} X_{i} = V;</math> | :1) <math>\cup_{i \in I} X_{i} = V;</math> | ||
2) для всех ребер <math>(v,w) \in E</math> существует <math>i \in I</math> такое, что <math>v \in | :2) для всех ребер <math>(v,w) \in E</math> существует <math>i \in I</math> такое, что <math>v \in | ||
X_{i}</math>и <math>w \in X_{i}</math> | X_{i}</math>и <math>w \in X_{i}</math> | ||
3) для всех <math>i, j, k \in I</math> таких, что <math>j</math> лежит на [[путь|пути]] в <math>T</math> из <math>i</math> в <math>k</math>, справедливо включение <math>X_{i} \cap X_{k} \subseteq X_{j}</math>. | :3) для всех <math>i, j, k \in I</math> таких, что <math>j</math> лежит на [[путь|пути]] в <math>T</math> из <math>i</math> в <math>k</math>, справедливо включение <math>X_{i} \cap X_{k} \subseteq X_{j}</math>. | ||
''Шириной'' древесной декомпозиции называется <math>\max_{i \in I} |X_{i}| - 1</math>. ''Древесная ширина'' графа <math>G</math> определяется как наименьшая ширина древесной декомпозиции <math>G</math> и обозначается <math>tw(G)</math>. В частности, если в этом определении рассматривать не [[дерево|деревья]], а пути (точнее, [[цепь|цепи]]), то получим определение ''[[путевая ширина|путевой ширины]]'' <math>pw(G)</math>.Так как всякий путь есть дерево, то имеет место неравенство | ''Шириной'' древесной декомпозиции называется <math>\max_{i \in I} |X_{i}| - 1</math>. ''Древесная ширина'' графа <math>G</math> определяется как наименьшая ширина древесной декомпозиции <math>G</math> и обозначается <math>tw(G)</math>. В частности, если в этом определении рассматривать не [[дерево|деревья]], а пути (точнее, [[цепь|цепи]]), то получим определение ''[[путевая ширина|путевой ширины]]'' <math>pw(G)</math>.Так как всякий путь есть дерево, то имеет место неравенство | ||
<math>tw(G) \leq pw(G).</math> | ::::::<math>tw(G) \leq pw(G).</math> | ||
Древесная ширина (и соответственно путевая ширина) графа <math>G</math> связана с [[клика|кликовым]] числом <math>\omega(G)</math> наименьшего [[хордальный граф|хордального]] (соответственно [[интервальный граф|интервального]]) графа, в который рассматриваемый граф <math>G</math> может быть вложен, следующим образом: | Древесная ширина (и соответственно путевая ширина) графа <math>G</math> связана с [[клика|кликовым]] числом <math>\omega(G)</math> наименьшего [[хордальный граф|хордального]] (соответственно [[интервальный граф|интервального]]) графа, в который рассматриваемый граф <math>G</math> может быть вложен, следующим образом: | ||
<math>tw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть хордальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>; | :<math>tw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть хордальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>; | ||
<math>pw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть интервальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>. | :<math>pw(G) = \min \{\omega(H)| \; H\mbox{ есть интервальный граф и } G \subseteq H\} - 1</math>. | ||
Графы с древесной шириной <math>k</math> известны также как частичные [[k-Дерево|<math>k</math>-деревья]]. | Графы с древесной шириной <math>k</math> известны также как частичные [[k-Дерево|<math>k</math>-деревья]]. | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
* Workshop. Herrsching, 1994 // Lect. Notes Comp. Sci., 1995, vol. 903. | |||
