Невозможность асинхронного консенсуса: различия между версиями

Доказательство. Предположим от противного, что существует протокол консенсуса для (n + 1) потоков <math>A_0, ..., A_n</math>, в котором каждое начальное состояние является унивалентным. Обозначим за <math>s_i</math> начальное состояние, в котором процессы <math>A_i, ..., A_n</math> имеют на входе 0, а у <math>A_0, ..., A_{i - i}</math> на входе 1. Очевидно, что <math>s_0</math> является 0-валентным: все процессы имеют на входе 0, поэтому по условию допустимости все они должны прийти к решению 0. Если <math>s_i</math> является 0-валентным, то и <math>s_{i + 1}</math> тоже. Эти состояния отличаются только входными данными процесса <math>A_i</math>: 0 у <math>s_i</math> и 1 у <math>s_{i + 1}</math>. Любое выполнение, начинающееся с <math>s_i</math>, в котором <math>A_i</math> останавливается перед выполнением каких-либо шагов, неотличимо от выполнения, начинающегося с <math>s_{i + 1}</math>, в котором <math>A_i</math> останавливается перед выполнением каких-либо шагов. Поскольку в первом случае процессы должны принять решение 0, во втором они должны принять решение 1. А поскольку существует одно исполнение, начинающееся с <math>s_{i + 1}</math>, которое принимает решение 0, и поскольку согласно гипотезе <math>s_{i + 1}</math> унивалентно, то <math>s_{i + 1}</math> является 0-валентным. Отсюда следует, что состояние <math>s_{n + 1}</math>, в котором все процессы начинаются со входного значения 1, является 0-валентным, что противоречит условию. <math>\Box</math>

Доказательство от противного. Согласно лемме 1, протокол имеет бивалентное начальное состояние. Запустим выполнение протокола в этом состоянии. Многократно выбираем процесс, следующий шаг которого оставляет протокол в бивалентном состоянии, и позволяем данному процессу сделать этот шаг. Либо протокол будет работать вечно, нарушая условие завершения, либо в конце концов перейдет в критическое состояние. <math>\Box</math>

'''Теорема 3. Не существует протокола консенсуса для асинхронной системы передачи сообщений, в которой один процесс может претерпеть сбой.'''

Единственная пара некоммутативных шагов имеет место в случае, когда А собирается отправить сообщение В (или наоборот). Обозначим за <math>s_{AB}</math> состояние, возникающее, если А посылает сообщение В, а В затем его получает, а за <math>s_{BA}</math> – состояние, возникающее, если В получает другое (или ''нулевое'') сообщение, а затем А посылает свое сообщение процессу В. Обратите внимание, что каждый процесс, отличный от В, имеет одно и то же локальное состояние в <math>s_{AB}</math> и <math>s_{BA}</math>. Рассмотрим выполнение, начинающееся с <math>s_{AB}</math>, в котором каждый процесс, кроме В, делает шаги в порядке очереди. Поскольку <math>s_{AB}</math> является 0-валентным, все эти процессы в конечном итоге найдут решение 0. Далее рассмотрим выполнение, начинающееся с <math>s_{BA}</math>, в котором каждый процесс, отличный от В, делает шаги в порядке очереди. Поскольку <math>s_{BA}</math> является 1-валентным, все эти процессы в конечном итоге найдут решение 1. Но все процессы, кроме В, имеют одинаковые локальные состояния в конце каждого выполнения, поэтому они не могут принимать решения с разными значениями, что составляет противоречие. <math>\Box</math>