Алгоритмическое охлаждение: различия между версиями

Чтобы получить некоторое представление о конструкции логических вентилей, выполняющих манипуляции с энтропией, можно ознакомиться с близким к этому процессу сценарием, который впервые был рассмотрен фон Нейманом. Он продемонстрировал метод извлечения честных подбрасываний монеты, если эта монета подделана, предложив взять пару подбрасываний подделанной монеты с результатами <math>a</math> и <math>b</math> и использовать значение <math>a</math>, '''обусловленное''' <math>a \ne b</math>. Простой расчет показывает, что <math>a = 0</math> и <math>a = 1</math> теперь получаются с равными вероятностями, и поэтому энтропия монеты <math>a</math> увеличивается в этом случае до 1. Противоположный случай, распределение вероятности <math>a</math> при <math>a = b</math>, приводит к сильно детерминированному подбрасыванию монеты, а именно к подбрасыванию (обусловленному) с большей погрешностью или меньшей энтропией. Вентили, которые меняют на противоположное значение <math>b</math>, если (и только если) <math>a = 1</math>, называются вентилями с контролируемым отрицанием. Если после применения такого вентиля получается <math>b = 1</math>, это означает, что до операции с вентилем имело место соотношение <math>a \ne b</math>, и теперь энтропия <math>a</math> равна 1. Если же после применения вентиля получается <math>b = 0</math>, это означает, что до операции с вентилем имело место <math>a = b</math>, и теперь энтропия <math>a</math> меньше своего первоначального значения.

В физике двухуровневые системы, а именно системы, допускающие только двоичные значения, полезны во многих отношениях. Часто бывает важно инициализировать такие системы чистым состоянием «0» или распределением вероятности, которое как можно ближе к чистому состоянию «0». В таких физических двухуровневых системах процесс сжатия данных, который приближает некоторые из них к чистому состоянию, можно рассматривать как «охлаждение». Для квантовых двухуровневых систем существует простая связь между температурой, энтропией и вероятностью заселения. Разница вероятностей заселения между этими двумя уровнями известна как поляризационное смещение, . Рассмотрим одиночную частицу с половинным спином – например, ядро водорода – в постоянном магнитном поле. При равновесии с тепловым резервуаром вероятность того, что этот спин окажется направлен вверх или вниз (т. е. параллельно или антипараллельно направлению поля), задается формулой <math>p \uparrow = \frac{1 + \epsilon}{2}</math> и <math>p \downarrow = \frac{1 - \epsilon}{2}</math>. Энтропия H спина равна <math>H(single-bit) = H( \frac{1}{2} + \frac{\epsilon}{2})</math>, причем <math>H(P) \equiv -P \; log_2 \; P - (1 - P) \; log_2 \; (1 - P)</math> измеряется в битах. Два чистых состояния ядра с половинными спинами обычно записываются как <math> | \uparrow \rangle  \equiv '0'</math> и <math> | \downarrow \rangle \equiv '1'</math> //''уточнение обозначения <math> | \rangle</math> можно найти в других статьях, посвященных квантовым вычислениям – например, в статье [[Квантовое плотное кодирование]]''//. Поляризационное смещение спина при тепловом равновесии задается формулой <math>\epsilon = р \uparrow - p \downarrow</math>. Для такой физической системы смещение получается с помощью соображений квантовой статистической механики, <math>\epsilon = tanh \left ( \frac{\hbar \gamma B}{2 K_B T} \right )</math>, где <math>\hbar</math> – постоянная Планка, B – напряженность магнитного поля, <math>\gamma</math> – зависящая от частицы гиромагнитная постоянная ''//'эта константа отвечает за разницу в смещении равновесной поляризации - например, ядро водорода в 4 раза более поляризовано, чем ядро изотопа углерода <math>^{13} C</math>, но примерно в <math>10^3</math> раз менее поляризовано, чем спин электрона]//'', <math>K_B</math> – коэффициент Больцмана, а T – температура теплового резервуара. Для высоких температур или малых значений смещения <math>\epsilon \approx \frac{\hbar \gamma B}{2 K_B T}</math>, таким образом, смещение обратно пропорционально температуре. Типичные значения <math>\epsilon</math> для ядер с полуцелыми спинами при комнатной температуре (и магнитном поле ~ 10 Тесла) составляют <math>10^{-5} - 10^{-6}</math>, и поэтому большая часть последующих рассуждений исходит из предположения, что <math> \epsilon \ll 1</math>. Таким образом, спиновая температура при равновесии равна <math>T = \frac{Const}{\epsilon}</math>, а ее энтропия по Шеннону – <math>H= 1 - (\epsilon^2/ln \; 4)</math>.