Алгоритм DC-дерева для k серверов на деревьях: различия между версиями

Пусть T – дерево, согласно вышеприведенному определению. Пусть даны текущая конфигурация сервера S = {<math>s_{1}</math>, ..., <math>s_{k}</math>}, где <math>s_{j}</math> обозначает местоположение сервера j, и точка запроса r; алгоритм выполняет перемещение нескольких серверов, один из которых окажется в результате в точке r. Для двух точек x, y <math>\in </math> T, обозначим через [x, y] уникальный путь из x в у в дереве T. Сервер j называется ''активным'', если не существует другого сервера в [<math>s_{j}</math>, r] – {<math>s_{j}</math>}, и j является сервером с минимальным индексом, расположенным в s<math>_{j}</math> (последнее условие необходимо только для разрыва связей).

Конкурентный анализ алгоритма DC-TREE основан на рассуждениях о потенциале. Стоимость алгоритма DC-TREE сравнивается со стоимостью алгоритма противоположной стороны, выполняющей запросы на собственных серверах. Обозначим за A конфигурацию серверов «противника» на данном этапе и определим потенциал <math>\Phi\ = k \cdot D(S,A) + \sum_{i<j}d(s_{i}, s_{j})</math>

, где D(S,A) – стоимость алгоритма нахождения соответствия с минимальной стоимостью между S и A. На каждом этапе противная сторона в первую очередь перемещает один из своих серверов в r. На данном под-этапе потенциал возрастает не более чем в k раз по сравнению со стоимостью противной стороны. Затем DC-TREE выполняет запрос. Можно показать, что сумма <math>\Phi\ </math> и стоимости DC-TREE не возрастает. Два этих факта, с учетом накопления по всей последовательности запросов, приводят к следующему результату [4]:

Алгоритм DC-TREE можно применять для других пространств при помощи «вложения» их в деревья. К примеру, униформное метрическое пространство (в котором все расстояния равны 1) может быть представлено звездой с лучами длины 1/2 и, следовательно, к нему может быть применен алгоритм DC-TREE. Это также сразу приводит к созданию k-конкурентного алгоритма для ''задачи кэширования'', цель которой заключается в управлении двухуровневой системой памяти, состоящей из большой основной памяти и кэша, способного хранить до k элементов памяти. Если элемент находится в кэше, то стоимость доступа к нему составляет 0, в противном случае стоимость извлечения его из основной памяти равна 1. Задачу кэширования можно рассматривать как k-серверную задачу в униформном метрическом пространстве, в которой позиции серверов представляют элементы, хранящиеся в кэше. Эта идея может быть еще больше расширена на задачу ''взвешенного кэширования'' [3], представляющую собой обобщение задачи кэширования, в котором различные элементы могут иметь разную стоимость. Фактически, если удастся вложить метрическое пространство M в дерево, искажение которого будет ограничено <math>\delta </math>, тогда алгоритм DC-TREE становится <math>\delta k</math>-конкурентным алгоритмом для M.

 

* ''[[Детерминистский поиск для линейной задачи]]'',

* ''[[Подкачка и кэширование интернет-страниц]]'',