Поддерево максимального соответствия: различия между версиями

Финден и Гордон [8] предложили эвристический алгоритм для решения задачи MAST на бинарных деревьях с временем исполнения <math>O(n^5) \;</math>, не гарантирующий оптимального решения. Кубицка, Кубицкий и Макморрис [13] предложили алгоритм с временем <math>O(n^{(0,5 + \epsilon) log \; n)}</math> для той же задачи. Первый алгоритм решения этой задачи за полиномиальное время разработали Стил и Уорноу [15]; время его исполнения составляло <math>O(n^2) \;</math>. Стил и Уорноу также рассматривали случаи небинарных и некорневых деревьев. Этот алгоритм требует <math>O(n^2) \;</math> времени для корневых и некорневых деревьев с фиксированной степенью и <math>O(n^{4,5 \; log \; n} )</math> для корневых и некорневых деревьев произвольной степени. Кроме того, они предложили линейную редукцию от корневого дерева к некорневому. Фарак и Торуп предложили алгоритм с временем исполнения <math>O(nc^{\sqrt{log \; n}})</math> для решения задачи MAST на бинарных деревьях, где <math>c \;</math> – константа величиной больше 1. Для деревьев с произвольной степенью этот алгоритм требует <math>O(n^2 c^{\sqrt{log \; n}}) \;</math> времени для некорневого случая [6] и <math>O(n^{1,5 \; log \; n})</math> – для корневого [7]. Фарак, Пжытычка и Торуп получили алгоритм с временем исполнения <math>O(n \; log^3 n) \;</math> для решения задачи MAST на бинарных деревьях. Као [12] удалось получить алгоритм для этой же задачи с временем исполнения <math>O(n \; log^2 \; n) \;</math>. Для деревьев степени d он выполняется за время <math>O(min \{ n d^2 \; log \; d \; log^2 n, n d^{3/2} \; log^3 n \} )</math>.

Далее представлен алгоритм Коула и Харихарана для решения задачи MAST на двух бинарных деревьях. Он был получен в результате модернизации алгоритма с временем <math>O(n \; log^3 n) \;</math> [4] (финальная журнальная версия [3] представляет собой сочетание обеих работ). Алгоритм с временем исполнения <math>O(n \; log^3 n) \;</math> из [4] использует следующий подход (хотя авторы и не излагали его в таком виде). Он определяет два специальных случая и затем решает задачу для общего случая путем интерполяции этих специальных случаев.

Специальный случай 2: оба дерева, <math>T_1 \;</math> и <math>T_2 \;</math>, являются полными бинарными деревьями. Для каждой вершины v дерева <math>T_2 \;</math> только определенные вершины u в <math>T_1 \;</math> могут быть отображены на v практичным образом, в том смысле, что поддерево <math>T_1 \;</math> с корнем в u и поддерево <math>T_2 \;</math> с корнем в v имеют непустое поддерево соответствия. Существует <math>O(n \; log^2 \; n)</math> таких пар (u, v), что можно показать следующим образом. Заметим, что для того, чтобы две вершины (u, v) составляли такую пару, поддерево <math>T_1 \;</math> с корнем в u и поддерево <math>T_2 \;</math> с корнем в v должны иметь общую метку листа. Для каждой метки существуют только <math>O(log^2 \; n) \;</math> таких пар, полученных сопряжением каждого потомка листа с этой меткой в дереве <math>T_1 \;</math> с каждым потомком листа с этой меткой в дереве <math>T_2 \;</math>. Таким образом, общее число интересных пар составляет <math>O(n \; log^2 \; n)</math>. Для каждой пары вычисление MAST требует O(1) времени, поскольку вопрос заключается просто в нахождении лучшего способа сопряжения их потомков.

В данной работе были предложены две оптимизации, каждая из которых приводит к сокращению времени исполнения на коэффициент log n.

Оптимизация 1: время исполнения алгоритма для специального случая полных деревьев улучшается до <math>O(n \; log \; n)</math> следующим образом. Пара вершин (u, v), <math>u \in T_1 \;</math>, <math>v \in T_2 \;</math>, считается интересной, если существует поддерево соответствия, отображающее u на v. Как показано ниже, для полных деревьев общее число интересных пар (u, v) составляет всего <math>O(n \; log \; n)</math>. Рассмотрим вершину v в дереве <math>T_2 \;</math>. Пусть <math>L_2 \;</math> – множество листьев, являющихся потомками v. Пусть <math>L_1 \;</math> – множество тех листьев <math>T_1 \;</math>, которые имеют те же метки, что и листья в <math>L_2 \;</math>. Отображены на v могут быть только вершины u, принадлежащие к поддереву <math>T_1 \;</math>, порожденному <math>L_1 \;</math>. Количество таких вершин составляет O(размер поддерева <math>T_2</math> с корнем в v). Таким образом, общее число интересных пар представляет собой сумму всех поддеревьев <math>T_2 \;</math>, или <math>O(n \; log \; n)</math>.

Эту технику можно обобщить на случаи более высоких степеней d > 2, за счет сочетания ее с техниками из ([6, глава 2]) для неограниченных степеней. Полученный алгоритм теоретически должен выполняться за время <math>O(min \{ n \sqrt{d} \; log^2 \; n, nd \; log n \; log \; d \} )</math>; однако на деле время его исполнения составляет <math>O(n \sqrt{d} \; log \; n)</math>.