Рандомизированный алгоритм нахождения минимального остовного дерева: различия между версиями

Задача MST широко изучалась еще до формулировки задачи KKT; было разработано несколько эффективных детерминированных алгоритмов для ее решения. В основе всех этих детерминированных алгоритмов лежит метод, который жадным образом добавляет ребро к лесу, в любой момент представляющему собой подграф минимального остовного дерева. Ранние алгоритмы этого класса уже были достаточно эффективными: время исполнения составляло O(m log n). Среди них стоит упомянуть алгоритмы Борувки [1], Ярника [8] (впоследствии переоткрытый Дейкстрой и Примом [5]) и Крускала [5].

Самый быстрый известный алгоритм MST до создания KKT исполнялся за время <math>O(m \; log \; \beta (m, n))</math> [7], где <math>\beta (m, n) = min \{ i \; | \; log^{(i)} n \le m/n \}</math> [7]; здесь <math>log^{(i)} n \;</math> определяется как <math>log \; n</math>, если i = 1, и <math>log \; log^{(i - 1)} n \;</math>, если i > 1. Хотя это время исполнения близко к линейному, оно не является линейным в случае очень разреженных графов.

• Родственная и более простая задача касается верификации минимального остовного дерева. В этой задаче имеется остовное дерево T для входного графа со взвешенными ребрами и необходимо определить, является ли оно минимальным. Алгоритм, решающий эту задачу при помощи линейного количества сравнений весов ребер, бал предложен Комлошем [13]; позднее был разработан детерминированный алгоритм с линейным временем исполнения [6] (см. также более простой алгоритм в [12]).

Основным результатом работы [9] является рандомизированный алгоритм нахождения минимального остовного дерева за ожидаемое линейное время. С весами ребер не выполняется никаких других действий, кроме попарных сравнений. Алгоритм не предполагает какого-либо конкретного представления весов ребер (т.е. должны ли их значения быть целыми или вещественными), он только считает, что любое сравнение весов для пары ребер может быть выполнено за единичное время. В статье также показано, что время исполнения алгоритма составляет O(m + n) с экспоненциально высокой вероятностью <math>1 - exp( - \Omega (m)) \;</math>, а время исполнения в наихудшем случае составит O(n + m log n).

2. Пусть F – лес графа G (т.е. ациклический подграф G). Ребро <math>e \in E \;</math> называется F-легким, если имеет место один из двух случаев: (1) <math>F \cup \{ e \} \;</math> продолжает оставаться лесом графа G; (2) самое тяжелое ребро цикла, содержащего e, не совпадает с e. Ребро G, не являющееся F-легким, называется F-тяжелым. Отметим, что согласно свойству циклов F-тяжелое ребро не может входить в состав минимального остовного дерева G н''езависимо от того, какой лес F используется''. Пусть имеется лес F графа G. Множество F-тяжелых ребер может быть вычислено за линейное время при помощи простой модификации существующих алгоритмов верификации минимального остовного дерева [6, 12].

Корректность алгоритма KKT очевидна, поскольку каждое удаляемое им F-тяжелое ребро не может входить в состав минимального остовного дерева (МОД) графа G, поскольку F – лес G, а каждое ребро, добавляемое им к минимальному остовному дереву, входит в состав МОД, поскольку добавляется при помощи шага Борувки.

Анализ ожидаемого времени исполнения и экспоненциально высокая граница вероятности для времени исполнения простейшим образом выводятся при помощи леммы выборки MST (леммы 1).

'''Теорема 2. Алгоритм KKT представляет собой рандомизированный алгоритм, вычисляющий минимальное остовное дерево неориентированного графа с n вершин и m взвешенных ребер за время O(n + m) с вероятностью не менее <math>1 - exp( - \Omega (m)) \;</math>. Ожидаемое время исполнения составляет O(n + m), а в наихудшем случае – O(m + n log n).'''

В качестве модели вычислений в [9] использовалась RAM-модель с единичной стоимостью, поскольку известные алгоритмы верификации минимального остовного дерева были разработаны именно для этой модели, а не для более ограничивающей модели машины с указателями. Впоследствии было показано, что результат верификации МОД и, следовательно, алгоритм KKT работают также и для машины с указателями [2].

• После создания в 1995 году алгоритма KKT были разработаны два новых детерминированных алгоритма для нахождения минимального остовного дерева, предложенные Шазелем [4] и Петти-Рамачандраном [14]. Первый [4] исполняется за время <math>O(n + m \alpha(m, n)) \;</math>, где <math>\alpha \;</math> – обратная функция Аккермана, которая растет даже медленнее, чем функция <math>\beta \;</math>, ранее упоминавшаяся в качестве наилучшего результата, известного до публикации алгоритма KKT [4]. Второй алгоритм [14] доказуемо исполняется за время, не более чем на константный множитель отличающееся от сложности дерева решений задачи минимального остовного дерева и, следовательно, являющееся оптимальным; его временные границы составляют <math>O(n + m \alphaa(m, n)) \;</math> и <math>\Omega (n + m) \;</math>, точные границы еще не определены.

• Хотя ожидаемое время исполнения алгоритма KKT является линейным (с экспоненциально высокой вероятностью), это не лучший показатель среди рандомизированных MST-алгоритмов. Рандомизированный MST-алгоритм, исполняющийся за ожидаемое линейное время и использующий только <math>O(log^* \; n)</math> случайных бит, приведен в работах [16, 17]. Для сравнения, алгоритм KKT использует линейное количество случайных бит.

Задача нахождения минимального остовного дерева широко применяется на практике; подробнее об этом – в Минимальное остовное дерево|соответствующей статье.

 

1. Можно ли устранить рандомизированность из алгоритма KKT? Гибридный алгоритм, использующий KKT внутри модифицированной версии алгоритма Петти-Рамачандрана [14], приведен в работах [16, 17]; он исполняется за ожидаемое линейное время и использует только O(log* n) случайных бит. Можно ли избавиться и от этого небольшого влияния случайности? Если устранить из алгоритма KKT все случайные факторы, это позволит достичь линейной временной границы для алгоритма Петти-Рамачандрана [14] и создать еще один оптимальный детерминированный алгоритм MST – на сей раз на базе KKT.

2. Можно ли устранить рандомизированность из оптимальных с точки зрения операций параллельных алгоритмов [1°] для MST? Линейный по числу операций параллельный MST-алгоритм с ожидаемым логарифмическим временем исполнения для EREW PRAM приведен в [ ]. Этот алгоритм является оптимальным и с точки зрения операций, и с точки зрения временных затрат. Однако он использует линейное количество случайных бит. В [16, 17] приведен оптимальный с точки зрения операций параллельный алгоритм, исполняющийся за ожидаемое полилогарифмическое время и использующий только полилогарифмическое число случайных бит. В силу этого интересны следующие, пока открытые, вопросы, касающиеся параллельных алгоритмов для задачи MST:

• До какой степени может быть снижена зависимость от случайных бит (по сравнению с нынешней полилогарифмической границей) в оптимальном с точки зрения операций параллельном алгоритме с разумной степенью параллелизма (скажем, имеющем полилогарифмическое время параллельного исполнения)?

 

Катриэль, Сандерс и Трафф [ ] выполнили экспериментальную оценку алгоритма KKT и показали, что он демонстрирует высокую эффективность на относительно плотных графах.