Коды Прюфера: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
 
(не показано 19 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
''' Код Прюфера''' - Представление с помощью списка рёбер и кода Прюфера.
Пусть T - дерево с множеством вершин <math>\{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\}</math>. Будем считать, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>. Сопоставим дереву T последовательность <math>[a_1, a_2, ... , a_{n-2}]</math> называемую '''кодом Прюфера''', по следующему правилу:
Дерево при этом способе задаётся перечислением пар <math><\nu_i, \nu_j></math> или троек <math><\nu_i, \nu_j, u_k></math>, если дополнительно нужна нумерация рёбер. Характер связей в списке определяется исходя из условий задачи. Например, для дерева T(см.рис X1) имеем


<math>T = \{<1, 4>, <2, 4>, <3,4>,<4,5>, <5,6>, <5,7>, <7,8>,<7,9>\}</math>
    '''функ''' КОД_ПРЮФЕРА(''T'': '''дерево''') =
    1.    Пусть n - число вершин в ''T'',  
          а A - целочисленный вектор длины ''n''-2;
    2.    B := [1 : n];
    3.    '''для''' ''i'' '''от''' ''1'' '''до''' ''n-2'' '''цикл'''
    4.        b:=min{k ∈ B; k - номер висячей вершины};
    5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
    6.        B := B-{b};
    7.        Удалить из ''T'' вершину с номером b
          '''всё''';
    8.    '''возврат''' A
    '''всё'''


Пусть T - дерево с множеством вершин <math>\{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\}</math>. Будем считать, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>. Сопоставим дереву T последовательность <math>[a_1, a_2, ... , a_{n-2}]</math> называемую кодом Прюфера, по следующему правилу:
Рассмотрим седующий пример. Для дерева ''T'' (рис.) код Прюфера имеет вид:


    '''функ''' КОД_ПРЮФЕРА(''' T дерево''') =
<math>P_2(T) = [4, 4, 4, 5, 5, 7, 7].</math>
    1.Пусть n - число вершин в ''T'', а ''A'' - Целочисленный вектор длины ''n''-2;
    2.    B:= [1 ; n];
    3.    для ''i'' от ''1'' до ''n-1'' цикл
    4.        b:=min{k \in B; k - номер висячей вершины};
    5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
    6.        B:= B-{b};
    7.       Удалить из ''T'' вершину с номером A[i]
          всё
    8    возврат A
    всё


Рассмотрим седующий пример. Для дерева ''T'' (рис.) код Прюфера имеет вид:
[[Файл:Priifer.mp4|360 px]]


<math>P_2(T)</math> = [2, 5, 5, 5, 6, 6, 10, 9, 10, 11, 13, 15, 15, 10, 13, 13, 13].


<изображение>
Распаковка кода  Прюфера (или восстановление дерева по коду Прюфера) осуществляется следующим образом:


Распаковка кода Прюфера осуществляется следующим образом:
    '''функ''' РАСПАКОВКА (A: '''код''')=
    1.    Пусть ''T'' состоит из вершин ''{ν₁, ν₂, ... , νₙ}'' таких,
          что номер вершины ''νᵢ'' равен ''i'',где ''n'' - длина кода ''A'' плюс 2;
    2.    '' B := [1 : n];''
    3.    '''для''' i '''от''' 1 '''до''' n-2 '''цикл'''
    4.        ''b'':=min{''k ∈ B'' : ''k ≠ A[j]'' для любого ''j ≥ i''};
    5.        В ''T'' добавить ребро, соединяющее вершины
              с номерами ''b'' и ''A[i]'';
    6.        ''B'' := ''B-{b}''
          '''всё;'''
    7.    В ''T'' добавить ребро, соединяющее вершины
          с номерами, оставшимися в ''В'';
    8.    '''возврат''' ''T''
    '''всё'''


    '''функ''' РАСПАКОВКА (A: ''код'')=
[[Файл:Priifer decode.mp4|360 px]]
    1.    Пусть ''T'' состоит из вершин <math>\{\nu_1, \nu_2, ... , \nu_n)\}</math> таких, что номер вершины <math>\nu_i</math> равен <math>i</math>, где n - длина кода A плюс 2;
    2.    <math>B: = [1 \; n]</math>;
    3.     для <math>i</math> от <math>n+1</math> цикл
    4.        b:=<math>min\{k \in B \; k \neq A[j]</math> для любого <math>j \geq i\}</math>;
    5.        В <math>T</math> добавить ребро, соединяющее вершины с номерами <math>b</math> и <math>A[i]</math>;
    6.        <math>B:=B-\{b\}</math>
          всё;
    7.    возврат T
    всё


В случае корневого ордерева процедуры построения кода Прюфера и его распаковки аналогичны. Необходимо только на последнем месте в <math>A</math> указывать корневую вершину и при распаковке кода <math>A</math> исключать номер этой вершины из множества <math>B</math>.
В случае корневого ордерева процедуры построения кода Прюфера и его распаковки аналогичны. Необходимо только на последнем месте в <math>A</math> указывать корневую вершину и при распаковке кода <math>A</math> исключать номер этой вершины из множества <math>B</math>.
Строка 45: Строка 48:
Рассмотрим следующие операции над деревьями:
Рассмотрим следующие операции над деревьями:


<math>\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}</math> - операция замены номера a вершины T на номер b;
<math>\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}</math> - операция замены номера a вершины ''T'' на номер b;


<math>a \overset{0}{\rightarrow} b</math> - операция склеивания двух деревьев по вершинам a и b, т.е. дерево <math>T_1 a  \overset{0}{\rightarrow}  b T_2</math> получается из <math>T_2</math> и <math>T_1</math> отождествлением вершин a из <math>T_1</math> b из <math>T_2</math> и присвоением склеенной вершине номера b (при склеивании ордеревьев добавляется требование, чтобы вершина b была корневой).
<math>a \overset{0}{\rightarrow} b</math> - операция склеивания двух деревьев по вершинам a и b, т.е. дерево <math>T_1 a  \overset{0}{\rightarrow}  b T_2</math> получается из <math>T_2</math> и <math>T_1</math> отождествлением вершин a из <math>T_1</math> b из <math>T_2</math> и присвоением склеенной вершине номера b (при склеивании ордеревьев добавляется требование, чтобы вершина b была корневой).
Строка 52: Строка 55:


Рассмотрим некоторые вставки кода Прюфера:
Рассмотрим некоторые вставки кода Прюфера:
[] - операция формального отбрасывания квадратных скобок; определена на всех выражениях вида <math>[a_1, a_2, ..., a_n],b,[b_1, b_2, ..., b_m]</math> и состоит в отбрасывании всех внутренних квадратных скобок и добавлении двух внешних;
[ ] - операция формального отбрасывания квадратных скобок; определена на всех выражениях вида <math>[a_1, a_2, ..., a_n],b,[b_1, b_2, ..., b_m]</math> и состоит в отбрасывании всех внутренних квадратных скобок и добавлении двух внешних;


<math>\stackrel{*}{c}</math> -операция вставки кода Прюфера; если  
<math>\stackrel{*}{c}</math> -операция вставки кода Прюфера; если  
Строка 71: Строка 74:
если <math>T_1 > T_2</math>, то необходимо рассматривать дерево <math>T_1b \overset{0}{\rightarrow} aT_2</math>, и всё сводится к предыдущему случаю;
если <math>T_1 > T_2</math>, то необходимо рассматривать дерево <math>T_1b \overset{0}{\rightarrow} aT_2</math>, и всё сводится к предыдущему случаю;


если <math>\overrightarrow{T_1} > \overrightarrow{T_2}</math>, то
если <math>\overrightarrow{T_1} < \overrightarrow{T_2}</math>, то


: <math>P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1}),\stackrel{*}{c}, P_2(\overrightarrow{T_2})]</math>,  
: <math>P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1}),\stackrel{*}{c}, P_2(\overrightarrow{T_2})]</math>,  
Строка 82: Строка 85:
: <math>P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overrightarrow{T_2}), P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1})]</math>,  
: <math>P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overrightarrow{T_2}), P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1})]</math>,  


[Категория: Обработка и визуализация деревьев]
[[Категория: Коды деревьев]]

Текущая версия от 18:55, 11 мая 2023

Пусть T - дерево с множеством вершин [math]\displaystyle{ \{\nu_1, \nu_2,..., \nu_n\} }[/math]. Будем считать, что номер вершины [math]\displaystyle{ \nu_i }[/math] равен [math]\displaystyle{ i }[/math]. Сопоставим дереву T последовательность [math]\displaystyle{ [a_1, a_2, ... , a_{n-2}] }[/math] называемую кодом Прюфера, по следующему правилу:

   функ КОД_ПРЮФЕРА(T: дерево) =
   1.    Пусть n - число вершин в T, 
         а A - целочисленный вектор длины n-2;
   2.    B := [1 : n];
   3.    для i от 1 до n-2 цикл
   4.        b:=min{k ∈ B; k - номер висячей вершины};
   5.        A[i]:= номер вершины, смежной вершине с номером b;
   6.        B := B-{b};
   7.        Удалить из T вершину с номером b
         всё;
   8.    возврат A
   всё

Рассмотрим седующий пример. Для дерева T (рис.) код Прюфера имеет вид:

[math]\displaystyle{ P_2(T) = [4, 4, 4, 5, 5, 7, 7]. }[/math]


Распаковка кода Прюфера (или восстановление дерева по коду Прюфера) осуществляется следующим образом:

   функ РАСПАКОВКА (A: код)=
   1.    Пусть T состоит из вершин {ν₁, ν₂, ... , νₙ} таких,
         что номер вершины νᵢ равен i,где n - длина кода A плюс 2;
   2.     B := [1 : n];
   3.    для i от 1 до n-2 цикл
   4.        b:=min{k ∈ B : k ≠ A[j] для любого j ≥ i};
   5.        В T добавить ребро, соединяющее вершины 
             с номерами b и A[i];
   6.        B := B-{b}
         всё;
   7.    В T добавить ребро, соединяющее вершины 
         с номерами, оставшимися в В;
   8.    возврат T
   всё

В случае корневого ордерева процедуры построения кода Прюфера и его распаковки аналогичны. Необходимо только на последнем месте в [math]\displaystyle{ A }[/math] указывать корневую вершину и при распаковке кода [math]\displaystyle{ A }[/math] исключать номер этой вершины из множества [math]\displaystyle{ B }[/math].

Операции над деревьями и кодами Прюфера

Будем считать, что вершины двух разных деревьев нумеруются различными числами, причём номера одного дерева всегда больше или меньше любого номера другого. Это требование часто выполняется в практических реализациях, т.к для вершин каждого дерева обычно отводят последовательные массивы номеров ячеек памяти. Если все номера дерева [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] (или ориентированного дерева [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]) меньше всех номерова дерева [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math]) то пишут [math]\displaystyle{ T_1 }[/math]<[math]\displaystyle{ T_2 }[/math] (или [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]<[math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math]).

Рассмотрим следующие операции над деревьями:

[math]\displaystyle{ \overset{a}{\underset{b}{\downarrow}} }[/math] - операция замены номера a вершины T на номер b;

[math]\displaystyle{ a \overset{0}{\rightarrow} b }[/math] - операция склеивания двух деревьев по вершинам a и b, т.е. дерево [math]\displaystyle{ T_1 a \overset{0}{\rightarrow} b T_2 }[/math] получается из [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] отождествлением вершин a из [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] b из [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] и присвоением склеенной вершине номера b (при склеивании ордеревьев добавляется требование, чтобы вершина b была корневой).

На рис 2.22 представлен результат выполнения операции [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} 3 \overset{0}{\rightarrow} 10 T_2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_2} }[/math] - деревья, изображённые на рис. 2.20 и 2.21.

Рассмотрим некоторые вставки кода Прюфера: [ ] - операция формального отбрасывания квадратных скобок; определена на всех выражениях вида [math]\displaystyle{ [a_1, a_2, ..., a_n],b,[b_1, b_2, ..., b_m] }[/math] и состоит в отбрасывании всех внутренних квадратных скобок и добавлении двух внешних;

[math]\displaystyle{ \stackrel{*}{c} }[/math] -операция вставки кода Прюфера; если


[math]\displaystyle{ P_2(\overrightarrow{T_1}) = [a_1, a_2, ... , a_k, c, a_{k+2}, ..., a_{n-1}] }[/math]

и среди чисел [math]\displaystyle{ a_{k+2}, a_{k+3}, a_{n-1} }[/math] нет числа c, то

[math]\displaystyle{ P_2(\overrightarrow{T_1})\stackrel{*}{c}P_2(\overrightarrow{T_2}) = [a_1, a_2, ... , a_k, P_2(\overrightarrow{T_2}),c, a_{k+2}, ..., a_{n-1}] }[/math].

Справедливы следующие соотношения, связывающие операции над деревьями и кодами Прюфера:

если [math]\displaystyle{ T_1 \lt T_2 }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}T_1),b, P_2(T_2)]; }[/math]

если [math]\displaystyle{ T_1 \gt T_2 }[/math], то необходимо рассматривать дерево [math]\displaystyle{ T_1b \overset{0}{\rightarrow} aT_2 }[/math], и всё сводится к предыдущему случаю;

если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} \lt \overrightarrow{T_2} }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1}),\stackrel{*}{c}, P_2(\overrightarrow{T_2})] }[/math],

где [math]\displaystyle{ c }[/math] - непосредственный предок вершины [math]\displaystyle{ a }[/math] в дереве [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} }[/math]


если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{T_1} \gt \overrightarrow{T_2} }[/math], то

[math]\displaystyle{ P_2({T_1}a \overset{0}{\rightarrow} bT_2) = [P_2(\overrightarrow{T_2}), P_2(\overset{a}{\underset{b}{\downarrow}}\overrightarrow{T_1})] }[/math],