Квантование цепей Маркова: различия между версиями

\end{bmatrix}</math>, где P" – матрица, полученная из P удалением столбцов, индексированных M, и строк, индексированных S \ M. P' ведет себя аналогично P, но поглощается первым помеченным состоянием, которого оно достигает. Рассмотрим квантование <math>W_{P'}</math> матрицы P' и определим ''квантовое время достижения'', H, множества M как наименьшее m, для которого <math>|W^m_{P'} \phi_0 - \phi_0| \ge 0.1</math>, где <math>\phi_0 := \sum_{x \in S} \sqrt{1/N} |x \rangle | p_x \rangle</math> (которое является стационарным для <math>W_P</math>). Заметим, что стоимость построения <math>W_{P'}</math> пропорциональна U + C.  

Почему определение квантового времени достижения настолько интересно? Классическое время достижения измеряет количество итераций блуждания с поглощением P', необходимое для заметного перекоса равномерного начального распределения. Аналогичным образом квантовое время достижения ограничивает число итераций следующего квантового алгоритма, служащего для определения того, является ли M непустым. На каждом шаге применяем оператор <math>W_{P'}</math>. Если M пусто, то P' = P и начальное состояние остается неизменным. Если M непусто, то угол между <math>W^t_{P'} \phi_0</math> и <math>W^t_P \phi_0</math> постепенно увеличивается. Используя дополнительный ''регистр управления'' для применения либо <math>W_{P'}</math>, либо <math>W_P</math> с квантовым управлением, можно определить расхождение этих двух состояний (если M непусто). Необходимое число итераций равно ровно H.

'''Теорема 4 [18]. Пусть P – произвольная цепь Маркова на конечном пространстве состояний S, и пусть <math>cos \; \theta_1 \ge ... \ge cos \; \theta_l</math> – сингулярные значения D(P), лежащие в открытом интервале (0, 1), с соответствующими парами сингулярных векторов <math>v_j, w_j</math> для <math>1 \le j \le l</math>. Тогда нетривиальные собственные значения <math>W_P</math> (исключая 1 и -1) и соответствующие им собственные векторы имеют вид <math>e^{- 2i \theta_j}, R_1 w_j - e^{-i \theta_j} R_2 v_j; e^{2i \theta_j}, R_j w_j - e^{i \theta_j} R_2 v_j</math> для <math>1 \le j \le l</math>.'''

'''Различимость элементов'''

Предположим, дана матрица смежности A графа с n вершинами и требуется определить, содержит ли граф треугольник (т.е. клику размером 3), используя как можно меньше запросов к записям A. Сложность классического подхода к решению этой задачи равна <math>\Theta(n^2)</math>. Маньез, Санта и Шегеди [13] предложили алгоритм со сложностью <math>\tilde{O}(n^{1,3})</math>, адаптировав решение из [2]. Маньез и др. улучшили ее до <math>O(n^{1,3})</math> в работе [12].

Предположим, даны три матрицы A, B, C размера <math>n \times n</math> и требуется определить, верно ли соотношение <math>AB \ne C</math> (то есть, существуют ли i,j такие, что <math>\sum_k A_{ik} B_{kj} \ne C_{ij}</math>), используя как можно меньше запросов к записям A, B и C. Сложность классического подхода к решению этой задачи равна <math>\Theta(n^2)</math>. Бурман и Спалек [5] предложили квантовый алгоритм выполнения запросов со сложностью <math>O(n^{5/3})</math>, используя результаты из [18].

Предположим, что имеется группа типа «черный ящик», заданная k генераторами, и требуется определить, коммутативна ли эта группа, используя как можно меньше запросов к операции группового произведения (т. е. запросов вида «Чему равно произведение элементов g и h?»). Сложность классического подхода к решению этой задачи составляет <math>\Theta(n^2)</math> групповых операций. Маньез и Наяк [11] предложили (практически оптимальный) <math>\tilde{O}(k^{2/3})</math> квантовый алгоритм выполнения запросов путем блуждания по произведению двух графов, вершины которых являются (упорядоченными) l-кортежами различных генераторов, у которого вероятности перехода являются ненулевыми только там, где l-кортежи в двух конечных точках отличаются не более чем по одной координате.

Можно ли распространить квадратичное ускорение квантового времени достижения со всех симметричных цепей Маркова на все обратимые? Можно ли распространить нижнюю границу вероятности наблюдения из [18] за пределы класса транзитивных по состоянию цепей Маркова с единственным помеченным состоянием? Какие еще алгоритмические приложения квантового времени достижения можно найти?

Еще одной сферой широкого применения цепей Маркова в классических алгоритмах является ''перемешивание''. В частности, алгоритмы ''Марковской цепи в методе Монте-Карло'' работают путем запуска эргодической цепи Маркова с тщательно выбранным стационарным распределением <math>\pi</math> до достижения времени перемешивания; в этот момент распределение текущего состояния гарантированно <math>\varepsilon</math>-близко к равномерному. Такие алгоритмы лежат в основе большинства рандомизированных алгоритмов для аппроксимации #P-полных задач. Таким образом, задача выглядит следующим образом:

Понятия квантового времени смешивания на линии, цикле и гиперкубе впервые предложили и проанализировали Наяк и др. [3, 15], Ахаронов и др. [ ], а также Мур и Расселл [14]. В работах Кендон и Трегенны [10] и Рихтера [16] исследовалось использование декогеренции для улучшения перемешивания квантовых блужданий [10]. Остаются открытыми два фундаментальных вопроса о времени квантового перемешивания: как выглядит «наиболее естественное» определение и когда имеет место квантовое ускорение по сравнению с временем перемешивания в классических подходах?